Decida se os vetores dados formam uma base de R^3, nos casos seguintes.
(1,2,3),(1,3,5),(1,0,1),(2,3,0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para decidir se os vetores , , e formam uma base do . Para isso, vamos entrar no mundo das bases vetoriais e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base, como verificar se os vetores são linearmente independentes e quantos vetores são necessários para formar uma base em .

Passo 2

Primeiro, uma base de é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e são linearmente independentes. Em , precisamos exatamente de 3 vetores para formar uma base. Se tivermos mais ou menos vetores, não teremos uma base válida.

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores que você forneceu: , , e . Temos 4 vetores em um espaço de dimensão 3, o que já nos dá uma pista importante. Em espaços com dimensão , não podemos ter mais de vetores linearmente independentes. Isso significa que, com 4 vetores em , pelo menos um deles será dependente linearmente dos outros.

Passo 4

Para confirmar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e verificar o seu determinante ou a redução por escalonamento para ver se eles são independentes. Mas já sabemos que não podem ser todos independentes porque temos mais vetores do que a dimensão do espaço.

Passo 5

Portanto, como temos 4 vetores em , inevitavelmente eles não podem formar uma base, pois não atendem ao requisito de ter exatamente 3 vetores linearmente independentes.

Resposta

Os vetores fornecidos não formam uma base de , já que há 4 vetores em um espaço de dimensão 3, tornando-os linearmente dependentes.

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Decida se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes.
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