Decida se os vetores dados formam uma base de
, nos casos seguintes.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para decidir se os vetores
,
,
e
formam uma base do
. Para isso, vamos entrar no mundo das bases vetoriais e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base, como verificar se os vetores são linearmente independentes e quantos vetores são necessários para formar uma base em
.
Passo 2
Primeiro, uma base de
é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e são linearmente independentes. Em
, precisamos exatamente de 3 vetores para formar uma base. Se tivermos mais ou menos vetores, não teremos uma base válida.
Passo 3
Agora, vamos analisar os vetores que você forneceu:
,
,
e
. Temos 4 vetores em um espaço de dimensão 3, o que já nos dá uma pista importante. Em espaços com dimensão
, não podemos ter mais de
vetores linearmente independentes. Isso significa que, com 4 vetores em
, pelo menos um deles será dependente linearmente dos outros.
Passo 4
Para confirmar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e verificar o seu determinante ou a redução por escalonamento para ver se eles são independentes. Mas já sabemos que não podem ser todos independentes porque temos mais vetores do que a dimensão do espaço.
Passo 5
Portanto, como temos 4 vetores em
, inevitavelmente eles não podem formar uma base, pois não atendem ao requisito de ter exatamente 3 vetores linearmente independentes.
Resposta
Os vetores fornecidos não formam uma base de
, já que há 4 vetores em um espaço de dimensão 3, tornando-os linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Decida se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes.
.
Considere os vetores
de
.
Escreva como uma combinação linear de
.
Escreva
Considere os vetores
de
.
Encontre de tal modo que
seja uma combinação linear de
e
.
Encontre
Considere os vetores
de
.
Encontre condições sobre , c tais que
seja uma combinação linear de
.
Encontre condições sobre