Decida se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes.
(1,3,1,-2),(2,5,-1,3),(1,3,7,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para decidir se os vetores (1,3,1,-2), (2,5,-1,3) e (1,3,7,-2) são linearmente dependentes ou independentes. A gente vai usar conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre combinação linear e rank de matrizes. Para isso, vamos montar uma matriz com esses vetores e ver se conseguimos encontrar combinações que resultem no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna. Assim, teremos:
1 & 2 & 1 3 & 5 & 3 1 & -1 & 7 -2 & 3 & -2

Passo 3

Agora, nosso objetivo é ver se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero, ou seja, se existem escalares c1 131-2 + c2 25-13 + c3 137-2 = 0000 tais que:

Passo 4

Para resolver isso, vamos transformar a matriz em forma escalonada usando operações de linha. Vamos começar pela primeira coluna.
  • Linha 1: Já está com 1 no primeiro elemento.
  • Linha 2: Vamos substituir pela Linha 2 menos 2 vezes a Linha 1:
L2 = L2 - 2L1 Rightarrow (2-2*1, 5-2*3, -1-2*1, 3-2*(-2)) = (0, -1, -3, 7)
  • Linha 3: Vamos substituir pela Linha 3 menos Linha 1:
L3 = L3 - L1 Rightarrow (1-1, 3-3, 7-1, -2-(-2)) = (0, 0, 6, 0)
A matriz fica assim:
1 & 2 & 1 0 & -1 & -3 0 & 0 & 6 -2 & 3 & -2

Passo 5

Agora, vamos cuidar da quarta linha. Vamos substituir pela Linha 4 mais 2 vezes a Linha 1:
L4 = L4 + 2L1 Rightarrow (-2+2*1, 3+2*3, -2+2*1, ) = (0, 9, 0, )
No entanto, como estamos trabalhando apenas com as três primeiras colunas para determinar a dependência, podemos ignorar o quarto elemento. A matriz atualizada fica:
1 & 2 & 1 0 & -1 & -3 0 & 0 & 6 0 & 9 & 0

Passo 6

Agora, observamos que temos uma linha com apenas zeros até a terceira coluna, mas não na quarta. Isso indica que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores (1,3,1,-2), (2,5,-1,3) e (1,3,7,-2) são linearmente dependentes.

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