Decida se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para decidir se os vetores , e são linearmente dependentes ou independentes. A gente vai usar conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre combinação linear e rank de matrizes. Para isso, vamos montar uma matriz com esses vetores e ver se conseguimos encontrar combinações que resultem no vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna. Assim, teremos:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é ver se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero, ou seja, se existem escalares c1 131-2 + c2 25-13 + c3 137-2 = 0000 tais que:
Passo 4
Para resolver isso, vamos transformar a matriz em forma escalonada usando operações de linha. Vamos começar pela primeira coluna.
Linha 1: Já está com 1 no primeiro elemento.
Linha 2: Vamos substituir pela Linha 2 menos 2 vezes a Linha 1:
No entanto, como estamos trabalhando apenas com as três primeiras colunas para determinar a dependência, podemos ignorar o quarto elemento. A matriz atualizada fica:
1 & 2 & 1 0 & -1 & -3 0 & 0 & 6 0 & 9 & 0
Passo 6
Agora, observamos que temos uma linha com apenas zeros até a terceira coluna, mas não na quarta. Isso indica que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores (1,3,1,-2), (2,5,-1,3) e (1,3,7,-2) são linearmente dependentes.