Considere os vetores e em . Escreva o vetor como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolver para os coeficientes que vão multiplicar e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever como uma combinação linear de e . Queremos encontrar números e tais que:
Isso significa que cada componente de é igual à combinação das componentes correspondentes de e multiplicadas por e , respectivamente.
Passo 3
Vamos escrever isso componente por componente. Ou seja:
Agora temos um sistema de três equações com duas incógnitas (a e b).
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, vamos usar a primeira equação para expressar b em termos de a:
5 = 2a - b implies b = 2a - 5
Passo 5
Substituímos b na segunda equação:
-7 = -3a + 2(2a - 5)
-7 = -3a + 4a - 10
-7 = a - 10
a = 3
Passo 6
Agora que temos a = 3, substituímos de volta para encontrar b:
b = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1
Passo 7
Por fim, vamos verificar com a terceira equação para confirmar que está tudo certo:
10 = 2(3) + 4(1) = 6 + 4 = 10
Confere!
Resposta
O vetor w = (5, -7, 10) pode ser escrito como combinação linear de u e v da seguinte forma: