Considere os vetores u=(2,-3,2) e v=(-1,2,4) em R^3. Escreva o vetor w=(5,-7,10) como combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor w = (5, -7, 10) como uma combinação linear dos vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4). Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolver para os coeficientes que vão multiplicar u e v.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever w como uma combinação linear de u e v. Queremos encontrar números a e b tais que:
w = a cdot u + b cdot v
Isso significa que cada componente de w é igual à combinação das componentes correspondentes de u e v multiplicadas por a e b, respectivamente.

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente. Ou seja:
5 = 2a + (-1)b -7 = -3a + 2b 10 = 2a + 4b
Agora temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( a e b).

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, vamos usar a primeira equação para expressar b em termos de a:
5 = 2a - b implies b = 2a - 5

Passo 5

Substituímos b na segunda equação:
-7 = -3a + 2(2a - 5)
-7 = -3a + 4a - 10
-7 = a - 10
a = 3

Passo 6

Agora que temos a = 3, substituímos de volta para encontrar b:
b = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1

Passo 7

Por fim, vamos verificar com a terceira equação para confirmar que está tudo certo:
10 = 2(3) + 4(1) = 6 + 4 = 10
Confere!

Resposta

O vetor w = (5, -7, 10) pode ser escrito como combinação linear de u e v da seguinte forma:
w = 3 cdot u + 1 cdot v

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