Considere os vetores e em . Escreva o vetor como combinação linear de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolver para os coeficientes que vão multiplicar e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever como uma combinação linear de e . Queremos encontrar números e tais que:
Isso significa que cada componente de é igual à combinação das componentes correspondentes de e multiplicadas por e , respectivamente.

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente. Ou seja:
Agora temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, vamos usar a primeira equação para expressar em termos de :

Passo 5

Substituímos na segunda equação:

Passo 6

Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :

Passo 7

Por fim, vamos verificar com a terceira equação para confirmar que está tudo certo:
Confere!

Resposta

O vetor pode ser escrito como combinação linear de e da seguinte forma:

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Sejam e bases ordenadas de . Ache as seguintes matrizes de mudança de base: Justifique a sua resposta.
Sabendo que o ponto pertence à reta que passa pelos pontos , determinar e .
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de . .
Seja uma transformação linear tal que , e . Faça o que se pede, justificando cada resposta. Determine , para qualquer .