Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de R^4. F=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y-z=0.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso pertence ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para provar que é um subespaço, a gente precisa checar três coisas: se o vetor zero está em , se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em x - y - z = 0 - 0 - 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Então, o vetor zero satisfaz a condição e está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos checar se u = (x1, y1, z1, t1) in F e v = (x2, y2, z2, t2) in F é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em x1 - y1 - z1 = 0 e x2 - y2 - z2 = 0 , a soma deles também deve estar em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) . Suponha que temos dois vetores:
(x1 + x2) - (y1 + y2) - (z1 + z2) = (x1 - y1 - z1) + (x2 - y2 - z2) = 0 + 0 = 0
Como ambos estão em , temos:
A soma deles é:
Vamos verificar a condição para :
Portanto, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se u = (x, y, z, t) in F e c in R é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor em x - y - z = 0 e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado ainda deve estar em c cdot u = (c x, c y, c z, c t) . Seja:
(c x) - (c y) - (c z) = c(x - y - z) = c cdot 0 = 0
Como está em , temos:
Multiplicando por :
Vamos verificar a condição para :
Assim, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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