Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de . .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso pertence ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para provar que é um subespaço, a gente precisa checar três coisas: se o vetor zero está em , se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Então, o vetor zero satisfaz a condição e está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Suponha que temos dois vetores:
Como ambos estão em , temos:
A soma deles é:
Vamos verificar a condição para :
Portanto, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor em e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado ainda deve estar em . Seja:
Como está em , temos:
Multiplicando por :
Vamos verificar a condição para :
Assim, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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Considere os vetores e em . Escreva o vetor como combinação linear de e .
Sejam e bases ordenadas de . Ache as seguintes matrizes de mudança de base: Justifique a sua resposta.
Seja uma transformação linear tal que , e . Faça o que se pede, justificando cada resposta. Determine , para qualquer .
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de :
e .