Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso pertence ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para provar que
é um subespaço, a gente precisa checar três coisas: se o vetor zero está em
, se
é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Então, o vetor zero satisfaz a condição e está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Suponha que temos dois vetores:
Como ambos estão em
, temos:
A soma deles é:
Vamos verificar a condição para
:
Portanto,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor em
e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado ainda deve estar em
. Seja:
Como
está em
, temos:
Multiplicando
por
:
Vamos verificar a condição para
:
Assim,
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
e
em
. Escreva o vetor
como combinação linear de
e
.
Sejam
e
bases ordenadas de
. Ache as seguintes matrizes de mudança de base:
Justifique a sua resposta.
Seja
uma transformação linear tal que
,
e
. Faça o que se pede, justificando cada resposta. Determine
, para qualquer
.
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
:
e
.