Seja uma transformação linear tal que , e . Faça o que se pede, justificando cada resposta. Determine , para qualquer .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que pega um vetor de três dimensões ( ) e transforma em um vetor de duas dimensões ( ). A missão é descobrir como essa transformação funciona para qualquer vetor . Para isso, vamos usar as informações dadas sobre como age em alguns vetores específicos e aplicar o que sabemos sobre transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser expressa como:
Isso significa que se a gente souber como age nos vetores básicos , e , a gente consegue descobrir para qualquer .

Passo 3

Vamos começar com o que já sabemos:
Queremos encontrar e . Vamos chamar:

Passo 4

Agora, vamos usar a linearidade para escrever as transformações dadas em termos dos vetores básicos.
Para :
Isso nos dá as equações:
Então, .

Passo 5

Agora, para :
Isso nos dá:
Portanto, .

Resposta

Com todas as peças no lugar, a transformação linear para qualquer vetor é dada por:

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Considere os vetores e em . Escreva o vetor como combinação linear de e .
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de :
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