Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear tal que T(1,1,1)=(1,-2), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,0,0)=(3,4). Faça o que se pede, justificando cada resposta. Determine T(x, y, z), para qualquer (x, y, z) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que pega um vetor de três dimensões ( ) e transforma em um vetor de duas dimensões ( ). A missão é descobrir como essa transformação funciona para qualquer vetor . Para isso, vamos usar as informações dadas sobre como age em alguns vetores específicos e aplicar o que sabemos sobre transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser expressa como:
T(x, y, z) = x cdot T(1, 0, 0) + y cdot T(0, 1, 0) + z cdot T(0, 0, 1)
Isso significa que se a gente souber como age nos vetores básicos , e , a gente consegue descobrir para qualquer .

Passo 3

Vamos começar com o que já sabemos:
  • T(0,1,0) = (a, b) T(0,0,1) = (c, d)
Queremos encontrar e . Vamos chamar:

Passo 4

Agora, vamos usar a linearidade para escrever as transformações dadas em termos dos vetores básicos.
Para T(1,1,0) = T(1,0,0) + T(0,1,0) = (3, 4) + (a, b) = (3 + a, 4 + b) = (2, 3) :
3 + a = 2 Rightarrow a = -1 4 + b = 3 Rightarrow b = -1
Isso nos dá as equações:
Então, .

Passo 5

Agora, para T(1,1,1) = T(1,0,0) + T(0,1,0) + T(0,0,1) = (3, 4) + (-1, -1) + (c, d) = (3 - 1 + c, 4 - 1 + d) = (1, -2) :
2 + c = 1 Rightarrow c = -1 3 + d = -2 Rightarrow d = -5
Isso nos dá:
Portanto, .

Resposta

Com todas as peças no lugar, a transformação linear T(x, y, z) = (3x - y - z,; 4x - y - 5z) para qualquer vetor é dada por:

Exercícios relacionados