Seja
uma transformação linear tal que
,
e
. Faça o que se pede, justificando cada resposta. Determine
, para qualquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear
que pega um vetor de três dimensões (
) e transforma em um vetor de duas dimensões (
). A missão é descobrir como essa transformação funciona para qualquer vetor
. Para isso, vamos usar as informações dadas sobre como
age em alguns vetores específicos e aplicar o que sabemos sobre transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser expressa como:
Isso significa que se a gente souber como
age nos vetores básicos
,
e
, a gente consegue descobrir
para qualquer
.
Passo 3
Vamos começar com o que já sabemos:
Queremos encontrar
e
. Vamos chamar:
Passo 4
Agora, vamos usar a linearidade para escrever as transformações dadas em termos dos vetores básicos.
Para
:
Isso nos dá as equações:
Então,
.
Passo 5
Agora, para
:
Isso nos dá:
Portanto,
.
Resposta
Com todas as peças no lugar, a transformação linear
para qualquer vetor
é dada por:
Exercícios relacionados
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
.
Considere os vetores
e
em
. Escreva o vetor
como combinação linear de
e
.
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
:
e
.
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
:
e
.