Sejam
e
bases ordenadas de
. Ache as seguintes matrizes de mudança de base:
Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre mudança de base em
. A gente vai precisar entender o que são bases, como representar vetores em diferentes bases e como construir a matriz de mudança de base. O objetivo aqui é encontrar a matriz de mudança de base
, que conecta a base
à base padrão
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as bases
e
:
-
Base
: É a base padrão de , formada pelos vetores e . -
Base
: É outra base de , formada pelos vetores e .
Passo 3
A matriz de mudança de base
serve para converter as coordenadas de um vetor que estão na base
para as coordenadas na base
. Para construir essa matriz, precisamos expressar os vetores da base
em termos da base
.
Passo 4
Como
é a base padrão, os vetores de
já estão expressos nas coordenadas de
. Ou seja:
- O vetor
na base é simplesmente . - O vetor
na base é .
Passo 5
Agora, colocamos esses coeficientes como colunas na matriz de mudança de base. Portanto, a matriz
terá como primeira coluna os coeficientes de
e como segunda coluna os coeficientes de
, ambos na base
.
Resposta
A matriz de mudança de base
é:
Exercícios relacionados
Sabendo que o ponto
pertence à reta que passa pelos pontos
, determinar
e
.
Apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: paralelo ao vetor
;
Considere os vetores
e
em
. Escreva o vetor
como combinação linear de
e
.
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
.