Sejam e bases ordenadas de . Ache as seguintes matrizes de mudança de base: Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre mudança de base em . A gente vai precisar entender o que são bases, como representar vetores em diferentes bases e como construir a matriz de mudança de base. O objetivo aqui é encontrar a matriz de mudança de base , que conecta a base à base padrão .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as bases e :
  • Base : É a base padrão de , formada pelos vetores e .
  • Base : É outra base de , formada pelos vetores e .

Passo 3

A matriz de mudança de base serve para converter as coordenadas de um vetor que estão na base para as coordenadas na base . Para construir essa matriz, precisamos expressar os vetores da base em termos da base .

Passo 4

Como é a base padrão, os vetores de já estão expressos nas coordenadas de . Ou seja:
  • O vetor na base é simplesmente .
  • O vetor na base é .

Passo 5

Agora, colocamos esses coeficientes como colunas na matriz de mudança de base. Portanto, a matriz terá como primeira coluna os coeficientes de e como segunda coluna os coeficientes de , ambos na base .

Resposta

A matriz de mudança de base é:

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