Sabendo que o ponto P(-3, m, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(1,-2,4) e B(-1,-3,1), determinar m e n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que o ponto está na reta que passa pelos pontos e . Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para isso, vamos usar o conceito de equação paramétrica da reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é dado pela diferença entre as coordenadas de AB = B - A = (-1 - 1, -3 - (-2), 1 - 4) = (-2, -1, -3) e :

Passo 3

Agora, escrevemos a equação paramétrica da reta usando o ponto x = 1 + (-2)t e o vetor diretor y = -2 + (-1)t . Seja z = 4 + (-3)t o parâmetro, temos:
x = 1 - 2t
y = -2 - t
z = 4 - 3t
Ou de forma mais simples:

Passo 4

Sabemos que o ponto -3 = 1 - 2t Rightarrow -4 = -2t Rightarrow t = 2 está na reta, então suas coordenadas devem satisfazer as equações paramétricas. Vamos igualar as coordenadas de às equações da reta:

Passo 5

Agora que encontramos m = -2 - t = -2 - 2 = -4 , substituímos esse valor nas equações de n = 4 - 3t = 4 - 6 = -2 e para encontrar e :

Resposta

Os valores são e .

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