Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3.
Escreva w=(1,3,8) como uma combinação linear de u e v.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional R^3, que são u = (1, 2, 3) e v = (2, 3, 1). A tarefa é escrever o vetor w = (1, 3, 8) como uma combinação linear desses dois vetores. Isso significa que precisamos encontrar números, chamados de coeficientes, que multiplicados por u e v nos dêem o vetor w. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre sistemas de equações lineares e combinações lineares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de u e v é dada por:
w = a cdot u + b cdot v
onde a e b são os coeficientes que precisamos encontrar. Substituindo os vetores, temos:
(1, 3, 8) = a cdot (1, 2, 3) + b cdot (2, 3, 1)

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente. Isso nos dará um sistema de três equações com duas incógnitas:
a cdot 1 + b cdot 2 = 1 a cdot 2 + b cdot 3 = 3 a cdot 3 + b cdot 1 = 8
Ou seja:
a + 2b = 1 (Equação 1) 2a + 3b = 3 (Equação 2) 3a + b = 8 (Equação 3) çãçãçã

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos começar isolando uma das variáveis em uma das equações. Vamos usar a Equação 1 para isolar a:
a = 1 - 2b
Substituímos esse valor de a na Equação 2:
2(1 - 2b) + 3b = 3
Simplificando:
2 - 4b + 3b = 3 2 - b = 3
Isolando b:
- b = 3 - 2 - b = 1 b = -1

Passo 5

Agora que encontramos o valor de b, vamos substituí-lo de volta na expressão que encontramos para a:
a = 1 - 2(-1) a = 1 + 2 a = 3

Passo 6

Agora, vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a Equação 3:
3a + b = 8 3(3) + (-1) = 8 9 - 1 = 8 8 = 8
Como a equação é verdadeira, nossos valores de a e b estão corretos.

Resposta

O vetor w = (1, 3, 8) pode ser escrito como uma combinação linear de u e v da seguinte forma:
w = 3u - 1v

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