Considere os vetores
de
.
Escreva
como uma combinação linear de
.
Escreva
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que envolve vetores no espaço tridimensional, ou seja, em
. A parada aqui é escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações. Vamos precisar montar as equações que relacionam as componentes dos vetores e encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever
como uma combinação linear de
e
. Basicamente, queremos encontrar dois números, digamos
e
, tais que:
Ou seja,
Isso nos dá três equações, uma para cada componente do vetor.
Passo 3
Vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações. Cada componente do vetor resultante deve ser igual à componente correspondente de
:
-
Para a primeira componente:Simplificando:
-
Para a segunda componente:Simplificando:
-
Para a terceira componente:Simplificando:
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas (
e
). A gente pode resolver esse sistema usando métodos como substituição ou eliminação para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Vamos usar o método de eliminação.
Primeiro, pegamos as equações (1) e (2):
Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para alinhar os coeficientes de
:
Agora, subtraímos essa nova equação da equação (2):
Isso resulta em:
Agora que temos
, substituímos esse valor na equação (1):
Então, encontramos
e
.
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever o vetor
como uma combinação linear de
e
:
Isso significa que:
Observando, percebemos que houve um pequeno erro na terceira componente, já que
não é igual a
. Isso indica que o vetor
não pode ser expresso como uma combinação linear exata apenas de
e
no
.
Resposta
Não existe combinação linear dos vetores
e
que resulte exatamente em
. Portanto, é impossível escrever
como uma combinação linear de
e
nesse caso.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
de
.
Escreva como uma combinação linear de
e
.
Escreva
Decida se os vetores de
dados são linearmente dependentes ou não nos casos seguintes.
,
Decida se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes.
.
Decida se os vetores dados formam uma base de
, nos casos seguintes.
;