Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3.
Escreva w=(2,4,5) como uma combinação linear de u e v.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que envolve vetores no espaço tridimensional, ou seja, em R^3. A parada aqui é escrever o vetor w = (2, 4, 5) como uma combinação linear dos vetores u = (1, 2, 3) e v = (2, 3, 1). Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações. Vamos precisar montar as equações que relacionam as componentes dos vetores e encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever w como uma combinação linear de u e v. Basicamente, queremos encontrar dois números, digamos a e b, tais que:
a cdot u + b cdot v = w
Ou seja,
a cdot (1, 2, 3) + b cdot (2, 3, 1) = (2, 4, 5)
Isso nos dá três equações, uma para cada componente do vetor.

Passo 3

Vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações. Cada componente do vetor resultante deve ser igual à componente correspondente de w:
  1. Para a primeira componente:
    a cdot 1 + b cdot 2 = 2
    Simplificando:
    a + 2b = 2 (1)
  2. Para a segunda componente:
    a cdot 2 + b cdot 3 = 4
    Simplificando:
    2a + 3b = 4 (2)
  3. Para a terceira componente:
    a cdot 3 + b cdot 1 = 5
    Simplificando:
    3a + b = 5 (3)
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( a e b). A gente pode resolver esse sistema usando métodos como substituição ou eliminação para encontrar os valores de a e b.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Vamos usar o método de eliminação.
Primeiro, pegamos as equações (1) e (2):
a + 2b = 2 (1) 2a + 3b = 4 (2)
Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para alinhar os coeficientes de a:
2a + 4b = 4 (1 times 2)
Agora, subtraímos essa nova equação da equação (2):
(2a + 3b) - (2a + 4b) = 4 - 4
Isso resulta em:
- b = 0 Rightarrow b = 0
Agora que temos b = 0, substituímos esse valor na equação (1):
a + 2 cdot 0 = 2 Rightarrow a = 2
Então, encontramos a = 2 e b = 0.

Passo 5

Com os valores de a e b encontrados, podemos escrever o vetor w como uma combinação linear de u e v:
w = 2 cdot u + 0 cdot v
Isso significa que:
w = 2 cdot (1, 2, 3) + 0 cdot (2, 3, 1) = (2, 4, 6) + (0, 0, 0) = (2, 4, 6)
Observando, percebemos que houve um pequeno erro na terceira componente, já que (2, 4, 6) não é igual a (2, 4, 5). Isso indica que o vetor w não pode ser expresso como uma combinação linear exata apenas de u e v no R^3.

Resposta

Não existe combinação linear dos vetores u = (1, 2, 3) e v = (2, 3, 1) que resulte exatamente em w = (2, 4, 5). Portanto, é impossível escrever w como uma combinação linear de u e v nesse caso.

Exercícios relacionados

Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3.
Escreva w=(1,3,8) como uma combinação linear de u e v.
Decida se os vetores de R^3 dados são linearmente dependentes ou não nos casos seguintes.
u1=(1,2,5), u2=(1,3,1), u3=(2,5,7), u4=(3,1,4),
Decida se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes.
(1,3,1,-2),(2,5,-1,3),(1,3,7,-2).
Decida se os vetores dados formam uma base de R^3, nos casos seguintes.
(1,2,3),(1,3,5),(1,0,1),(2,3,0);