Considere os vetores
e
, e sejam
e
as retas que passam pela origem em
e contêm, respectivamente, os vetores
.
(a) Determine a soma
, ou seja, o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como uma soma de um vetor em
e um vetor em
.
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se
.
(a) Determine a soma
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano:
e
. As retas
e
são aquelas que passam pela origem e contêm esses vetores. O conteúdo envolve vetores, subespaços e operações com vetores. Para resolver, vamos precisar entender como somar vetores e verificar se duas retas formam uma soma direta em
.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as retas
e
. Cada reta que passa pela origem e contém um vetor pode ser descrita como todos os múltiplos escalares desse vetor. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a soma
. Por definição, essa soma consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Ou seja:
Substituindo os valores de
e
:
Então:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da soma:
Para descrever todos os vetores resultantes dessa soma, podemos reescrever
e
em termos de novos parâmetros. No entanto, observamos que como
e
são quaisquer números reais, as combinações lineares resultantes cobrem todo o plano
. Portanto, a soma
é igual a
.
Passo 5
Para verificar se a soma é direta, precisamos checar se a única forma de obter o vetor zero é tomando
. Isso significa que as únicas soluções para
são
e
.
Vamos resolver a equação:
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Como a única solução é
, a soma
é direta.
Resposta
(a) A soma
é igual a todo o espaço
.
(b) A soma é direta, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Encontre uma transformação linear
para a qual
Esboce os seguintes vetores no plano:
e
.
Escreva as equações das seguintes parábolas: O vértice é
, o ponto
pertence à parábola e o eixo de simetria é o eixo-y.
Se
é linear com
e
quanto vale
?