Considere os vetores e , e sejam e as retas que passam pela origem em e contêm, respectivamente, os vetores .
(a) Determine a soma , ou seja, o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como uma soma de um vetor em e um vetor em .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano: e . As retas e são aquelas que passam pela origem e contêm esses vetores. O conteúdo envolve vetores, subespaços e operações com vetores. Para resolver, vamos precisar entender como somar vetores e verificar se duas retas formam uma soma direta em .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as retas e . Cada reta que passa pela origem e contém um vetor pode ser descrita como todos os múltiplos escalares desse vetor. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a soma . Por definição, essa soma consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Ou seja:
Substituindo os valores de e :

Então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da soma:
Para descrever todos os vetores resultantes dessa soma, podemos reescrever e em termos de novos parâmetros. No entanto, observamos que como e são quaisquer números reais, as combinações lineares resultantes cobrem todo o plano . Portanto, a soma é igual a .

Passo 5

Para verificar se a soma é direta, precisamos checar se a única forma de obter o vetor zero é tomando . Isso significa que as únicas soluções para são e .
Vamos resolver a equação:

Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:


Como a única solução é , a soma é direta.

Resposta

(a) A soma é igual a todo o espaço .
(b) A soma é direta, ou seja, .

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