Considere os vetores u=(1,2) e v=(-1,2), e sejam W1 e W2 as retas que passam pela origem em R^2 e contêm, respectivamente, os vetores u e v.
(a) Determine a soma W1+W2, ou seja, o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como uma soma de um vetor em W1 e um vetor em W2.
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se R^2=W1 oplus W2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano: u = (1,2) e v = (-1,2). As retas W1 e W2 são aquelas que passam pela origem e contêm esses vetores. O conteúdo envolve vetores, subespaços e operações com vetores. Para resolver, vamos precisar entender como somar vetores e verificar se duas retas formam uma soma direta em R^2.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as retas W1 e W2. Cada reta que passa pela origem e contém um vetor pode ser descrita como todos os múltiplos escalares desse vetor. Então:
  • W1 = k cdot u mid k in R = (k, 2k) mid k in R
  • W2 = m cdot v mid m in R = (-m, 2m) mid m in R

Passo 3

Agora, vamos encontrar a soma W1 + W2. Por definição, essa soma consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de W1 e um vetor de W2. Ou seja:
W1 + W2 = w1 + w2 mid w1 in W1, w2 in W2
Substituindo os valores de W1 e W2:
w1 = (k, 2k)
w2 = (-m, 2m)
Então:
w1 + w2 = (k - m, 2k + 2m)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da soma:
(k - m, 2k + 2m) = (k - m, 2(k + m))
Para descrever todos os vetores resultantes dessa soma, podemos reescrever k e m em termos de novos parâmetros. No entanto, observamos que como k e m são quaisquer números reais, as combinações lineares resultantes cobrem todo o plano R^2. Portanto, a soma W1 + W2 é igual a R^2.

Passo 5

Para verificar se a soma é direta, precisamos checar se a única forma de obter o vetor zero é tomando k = m = 0. Isso significa que as únicas soluções para k cdot u + m cdot v = 0 são k = 0 e m = 0.
Vamos resolver a equação:
k(1,2) + m(-1,2) = (0,0)
Rightarrow (k - m, 2k + 2m) = (0,0)
Isso nos dá o sistema:
  1. k - m = 0
  2. 2k + 2m = 0
Da primeira equação, k = m. Substituindo na segunda:
2k + 2k = 4k = 0
Rightarrow k = 0
Rightarrow m = 0
Como a única solução é k = m = 0, a soma W1 + W2 é direta.

Resposta

(a) A soma W1 + W2 é igual a todo o espaço R^2.
(b) A soma é direta, ou seja, R^2 = W1 oplus W2.

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