Se T é linear com T(u)=2 e T(v)=5 quanto vale T(3 u+v) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformação linear, que é um conceito de álgebra linear. A gente sabe que T é uma transformação linear que manda o vetor u para 2 e o vetor v para 5. O que a gente precisa descobrir é quanto vale T(3u + v) usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear T tem duas propriedades importantes:
  1. Aditividade: T(a + b) = T(a) + T(b) para quaisquer vetores a e b.
  2. Homogeneidade: T(c cdot a) = c cdot T(a) para qualquer vetor a e qualquer escalar c.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades para calcular T(3u + v). Segundo a aditividade, podemos separar a transformação em duas partes:
T(3u + v) = T(3u) + T(v)

Passo 4

Em seguida, usamos a homogeneidade para lidar com o 3u. Isso significa que a transformação de 3u é igual a 3 vezes a transformação de u:
T(3u) = 3 cdot T(u)

Passo 5

Sabemos que T(u) = 2 e T(v) = 5. Vamos substituir esses valores na expressão que temos:
T(3u + v) = 3 cdot 2 + 5

Passo 6

Fazendo as contas:
3 cdot 2 + 5 = 6 + 5 = 11

Resposta

T(3u + v) = 11

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