Se é linear com e quanto vale ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformação linear, que é um conceito de álgebra linear. A gente sabe que é uma transformação linear que manda o vetor para e o vetor para . O que a gente precisa descobrir é quanto vale usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear tem duas propriedades importantes:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer vetor e qualquer escalar .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades para calcular . Segundo a aditividade, podemos separar a transformação em duas partes:

Passo 4

Em seguida, usamos a homogeneidade para lidar com o . Isso significa que a transformação de é igual a vezes a transformação de :

Passo 5

Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na expressão que temos:

Passo 6

Fazendo as contas:

Resposta

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Escreva as equações das seguintes parábolas: O vértice é , o ponto pertence à parábola e o eixo de simetria é o eixo-y.
Considere os vetores e , e sejam e as retas que passam pela origem em e contêm, respectivamente, os vetores .
(a) Determine a soma , ou seja, o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como uma soma de um vetor em e um vetor em .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .
Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por .
Obtenha uma equação na forma para a reta que passa pelos pontos e