Encontre uma transformação linear para a qual

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar uma transformação linear cujo núcleo (ou kernel) é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares e seus núcleos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que, para vetores e escalares , satisfaz:
No caso, como vai de para , podemos expressar como:
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o núcleo da transformação linear, . Esse conjunto é formado por todos os vetores que satisfazem . Ou seja:
Mas sabemos que . Então, para todo vetor nesse núcleo, , o que significa que:
Como isso deve valer para todo , a única possibilidade é que .

Passo 4

Com a condição , podemos expressar um dos coeficientes em função do outro. Vamos escolher (pode ser qualquer número, mas 1 simplifica). Então:
Portanto, a transformação linear fica:

Resposta

A transformação linear que satisfaz o enunciado é .

Exercícios relacionados

Esboce os seguintes vetores no plano: e .
Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são e os vértices são .
Considere os vetores e , e sejam e as retas que passam pela origem em e contêm, respectivamente, os vetores .
(a) Determine a soma , ou seja, o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como uma soma de um vetor em e um vetor em .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .
Escreva as equações das seguintes parábolas: O vértice é , o ponto pertence à parábola e o eixo de simetria é o eixo-y.