Encontre uma transformação linear
para a qual
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar uma transformação linear
cujo núcleo (ou kernel) é o conjunto de todos os vetores
em
que satisfazem
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares e seus núcleos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função
que, para vetores
e escalares
, satisfaz:
No caso, como
vai de
para
, podemos expressar
como:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o núcleo da transformação linear,
. Esse conjunto é formado por todos os vetores
que satisfazem
. Ou seja:
Mas sabemos que
. Então, para todo vetor nesse núcleo,
, o que significa que:
Como isso deve valer para todo
, a única possibilidade é que
.
Passo 4
Com a condição
, podemos expressar um dos coeficientes em função do outro. Vamos escolher
(pode ser qualquer número, mas 1 simplifica). Então:
Portanto, a transformação linear fica:
Resposta
A transformação linear que satisfaz o enunciado é
.