Encontre uma transformação linear T: R^2 longrightarrow R para a qual
ker(T)=(x, y) in R^2 ; y=x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar uma transformação linear cujo núcleo (ou kernel) é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares e seus núcleos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função T(u + v) = T(u) + T(v) e T(cu) = cT(u) que, para vetores T(x, y) = a x + b y e escalares , satisfaz:
No caso, como vai de para , podemos expressar como:
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o núcleo da transformação linear, a x + b y = 0 . Esse conjunto é formado por todos os vetores a x + b x = 0 Rightarrow (a + b) x = 0 que satisfazem . Ou seja:
Mas sabemos que . Então, para todo vetor nesse núcleo, , o que significa que:
Como isso deve valer para todo , a única possibilidade é que .

Passo 4

Com a condição a = 1 Rightarrow b = -1 , podemos expressar um dos coeficientes em função do outro. Vamos escolher T(x, y) = 1 cdot x + (-1) cdot y = x - y (pode ser qualquer número, mas 1 simplifica). Então:
Portanto, a transformação linear fica:

Resposta

A transformação linear que satisfaz o enunciado é .

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