Sejam e bases ordenadas de .
(b) Se , encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de Álgebra Linear que envolve mudanças de base em espaços vetoriais. Aqui, trabalhamos com o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por . Temos duas bases ordenadas, e , e queremos encontrar as coordenadas do polinômio na base , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa representar um polinômio em uma base diferente. Dada uma base , qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base:
Aqui, , , e são os coeficientes que queremos encontrar, e eles formam o vetor de coordenadas .

Passo 3

No nosso caso, a base é e o polinômio . Vamos escrever como uma combinação linear dos elementos de :

Passo 4

Agora, vamos expandir a equação para agrupar os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação: \
  2. Da terceira equação:
  3. Substituindo na primeira equação: \

Passo 7

Agora que encontramos os valores de , , e , podemos escrever o vetor de coordenadas de na base :

Resposta

O vetor coordenado de na base é .

Exercícios relacionados

Seja o espaço vetorial das matrizes simétricas de ordem 2 com entradas reais. Sejam
duas bases ordenadas de .
© Encontre tal que .
Considere os vetores e . Calcule:
o ângulo formado por .
Dados os pontos e , determine as componentes de cada um dos vetores abaixo:
.
a) determinar a matriz canônica de ;