Beleza, vamos resolver essa questão de Álgebra Linear que envolve mudanças de base em espaços vetoriais. Aqui, trabalhamos com o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por . Temos duas bases ordenadas, e , e queremos encontrar as coordenadas do polinômio na base , ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa representar um polinômio em uma base diferente. Dada uma base , qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base:
Aqui, , , e são os coeficientes que queremos encontrar, e eles formam o vetor de coordenadas .
Passo 3
No nosso caso, a base é e o polinômio . Vamos escrever como uma combinação linear dos elementos de :
Passo 4
Agora, vamos expandir a equação para agrupar os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da segunda equação: \
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação: \
Passo 7
Agora que encontramos os valores de , , e , podemos escrever o vetor de coordenadas de na base :