Sejam alpha=1, t, t^2 e beta=1,2 t+1, t^2 bases ordenadas de P2.
(b) Se p(t)=3+2 t, encontre [p(t)]beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de Álgebra Linear que envolve mudanças de base em espaços vetoriais. Aqui, trabalhamos com o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por P2. Temos duas bases ordenadas, alpha = 1, t, t^2 e beta = 1, 2t+1, t^2, e queremos encontrar as coordenadas do polinômio p(t) = 3 + 2t na base beta, ou seja, [p(t)]beta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa representar um polinômio em uma base diferente. Dada uma base beta = b1, b2, b3, qualquer polinômio p(t) em P2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base:
p(t) = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3
Aqui, c1, c2, e c3 são os coeficientes que queremos encontrar, e eles formam o vetor de coordenadas [p(t)]beta = c1 c2 c3 .

Passo 3

No nosso caso, a base beta é 1, 2t+1, t^2 e o polinômio p(t) = 3 + 2t. Vamos escrever p(t) como uma combinação linear dos elementos de beta:
3 + 2t = c1 cdot 1 + c2 cdot (2t + 1) + c3 cdot t^2

Passo 4

Agora, vamos expandir a equação para agrupar os termos semelhantes:
3 + 2t = c1 + c2 cdot 2t + c2 cdot 1 + c3 t^2
Simplificando:
3 + 2t = (c1 + c2) + (2c2)t + c3 t^2

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de t, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
c1 + c2 = 3 &(termos constantes) 2c2 = 2 &(coeficiente de t) c3 = 0 &(coeficiente de t^2)

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação: 2c2 = 2 \
    c2 = 22 = 1
  2. Da terceira equação: c3 = 0
  3. Substituindo c2 = 1 na primeira equação: \
    c1 + 1 = 3 implies c1 = 3 - 1 = 2

Passo 7

Agora que encontramos os valores de c1, c2, e c3, podemos escrever o vetor de coordenadas de p(t) na base beta:
[p(t)]beta = c1 c2 c3 = 2 1 0

Resposta

O vetor coordenado de p(t) = 3 + 2t na base beta é 2 1 0 .

Exercícios relacionados