Beleza, vamos resolver essa questão de Álgebra Linear que envolve mudanças de base em espaços vetoriais. Aqui, trabalhamos com o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por . Temos duas bases ordenadas, e , e queremos encontrar as coordenadas do polinômio na base , ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa representar um polinômio em uma base diferente. Dada uma base , qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base:
Aqui, , , e são os coeficientes que queremos encontrar, e eles formam o vetor de coordenadas .
Passo 3
No nosso caso, a base beta é 1, 2t+1, t^2 e o polinômio p(t) = 3 + 2t. Vamos escrever p(t) como uma combinação linear dos elementos de beta:
Agora, vamos expandir a equação para agrupar os termos semelhantes:
3 + 2t = c1 + c2 cdot 2t + c2 cdot 1 + c3 t^2
Simplificando:
3 + 2t = (c1 + c2) + (2c2)t + c3 t^2
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de t, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
c1 + c2 = 3 &(termos constantes) 2c2 = 2 &(coeficiente de t) c3 = 0 &(coeficiente de t^2)
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da segunda equação: 2c2 = 2 \
c2 = 22 = 1
Da terceira equação: c3 = 0
Substituindo c2 = 1 na primeira equação: \
c1 + 1 = 3 implies c1 = 3 - 1 = 2
Passo 7
Agora que encontramos os valores de c1, c2, e c3, podemos escrever o vetor de coordenadas de p(t) na base beta:
[p(t)]beta = c1 c2 c3 = 2 1 0
Resposta
O vetor coordenado de p(t) = 3 + 2t na base beta é 2 1 0 .