Considere os vetores u=(1,1,4), v=(-1,2,2) e w=(-1,0,2). Calcule:
f) o vetor projeção de u sobre v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a projeção do vetor u = (1, 1, 4) sobre o vetor v = (-1, 2, 2). Esse assunto faz parte da matéria de Álgebra Vetorial, que trata de operações com vetores como projeções, produtos escalares e vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro e entender como aplicar o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a projeção do vetor u sobre o vetor v:
projv, u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v representa o produto escalar entre os vetores u e v, e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo, que também é o quadrado do seu comprimento.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = (1)(-1) + (1)(2) + (4)(2) = -1 + 2 + 8 = 9

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar v cdot v:
v cdot v = (-1)^2 + (2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9
Isso significa que o quadrado do comprimento de v é 9.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos na fórmula da projeção:
projv, u = ( 99 ) v = 1 cdot v = v
Então, a projeção de u sobre v é exatamente o próprio vetor v.

Resposta

A projeção de u sobre v é o vetor v, ou seja:
projv, u = (-1,, 2,, 2)

Exercícios relacionados