Considere os vetores u=(1,1,4), v=(-1,2,2) e w=(-1,0,2). Calcule:
g) o vetor projeção de v sobre u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o vetor projeção de sobre . Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a projeção de um vetor sobre outro usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção de proju v = ( v cdot u|u|^2 ) u sobre :
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é o módulo de ao quadrado.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 . O produto escalar de dois vetores v cdot u = (-1)(1) + (2)(1) + (2)(4) = -1 + 2 + 8 = 9 e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de |a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 ao quadrado, |u|^2 = (1)^2 + (1)^2 + (4)^2 = 1 + 1 + 16 = 18 . O módulo de um vetor é:
Então,

Passo 5

Com os valores do produto escalar e do módulo ao quadrado, podemos encontrar a projeção:
proju v = ( 918 ) u = 12 u
Multiplicando cada componente de 12 u = ( 12, 12, 42 ) = ( 12, 12, 2 ) por :

Resposta

O vetor projeção de sobre é .

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