Determine o valor de k para que os vetores u=(1,3,-2) e v=(k, 2,0) sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u=(1,3,-2) e v=(k, 2,0), e queremos descobrir qual valor de k faz com que eles sejam ortogonais. Ortogonalidade entre vetores significa que o produto escalar entre eles é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do produto escalar e igualar a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. Para dois vetores u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3), o produto escalar é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Queremos que esse produto seja igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos vetores que temos:
u cdot v = (1)(k) + (3)(2) + (-2)(0)
Calculando cada parte:
1 cdot k = k
3 cdot 2 = 6
-2 cdot 0 = 0
Então, o produto escalar fica:
k + 6 + 0 = k + 6

Passo 4

Como queremos que os vetores sejam ortogonais, igualamos o produto escalar a zero:
k + 6 = 0
Agora, basta resolver essa equação para encontrar o valor de k.

Passo 5

Subtraindo 6 de ambos os lados da equação:
k = -6

Resposta

k = -6

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