Determine o valor de k para que os vetores e sejam ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , e queremos descobrir qual valor de faz com que eles sejam ortogonais. Ortogonalidade entre vetores significa que o produto escalar entre eles é zero. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do produto escalar e igualar a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. Para dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Queremos que esse produto seja igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula aos vetores que temos:
Calculando cada parte:
Então, o produto escalar fica:
Passo 4
Como queremos que os vetores sejam ortogonais, igualamos o produto escalar a zero:
Agora, basta resolver essa equação para encontrar o valor de .