Determine o vetor u=(m-1, m, m+1) de modo que os vetores u, v e w sejam coplanares. Dados: v=(0,3,3) e w=(4,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para o vetor de modo que os vetores , e sejam coplanares. Para isso, vamos usar o conceito de produto misto, que nos ajuda a saber se três vetores estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre v times w = i & j & k 0 & 3 & 3 4 & 1 & -1 e v times w = i(3 cdot (-1) - 3 cdot 1) - j(0 cdot (-1) - 3 cdot 4) + k(0 cdot 1 - 3 cdot 4) . O produto vetorial = i(-3 -3) - j(0 -12) + k(0 -12) é dado por:
= -6i + 12j -12k
Resolvendo o determinante:
= (-6, 12, -12)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u cdot (v times w) = (m-1)(-6) + m(12) + (m+1)(-12) e = -6(m -1) + 12m -12(m +1) . O produto escalar é:
= -6m +6 +12m -12m -12
Vamos simplificar essa expressão:
= (-6m +12m -12m) + (6 -12)
= -6m -6

Passo 4

Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto deve ser zero:
-6m -6 = 0
Resolvendo para -6m = 6 :
m = -1

Resposta

O valor de que torna os vetores coplanares é .

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