Considere os vetores u=(2,-6,2), v=(0,4,-2), w=(2,2,-4) Determine u times(v times w) e (u times v) times w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: u = (2, -6, 2), v = (0, 4, -2) e w = (2, 2, -4). O que a gente precisa fazer é calcular dois produtos vetoriais diferentes: u times (v times w) e (u times v) times w. Para isso, vamos usar a regra do produto vetorial, que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a ambos os vetores envolvidos no produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular v times w. O produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = (a2b3 - a3b2, , a3b1 - a1b3, , a1b2 - a2b1)
Aplicando isso aos vetores v e w:
v times w = (4 cdot (-4) - (-2) cdot 2, , (-2) cdot 2 - 0 cdot (-4), , 0 cdot 2 - 4 cdot 2)
= (-16 + 4, , -4 - 0, , 0 - 8)
= (-12, , -4, , -8)

Passo 3

Agora que temos v times w = (-12, -4, -8), vamos calcular u times (v times w). Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
u times (v times w) = u times (-12, -4, -8)
= (-6 cdot (-8) - 2 cdot (-4), , 2 cdot (-12) - 2 cdot (-8), , 2 cdot (-4) - (-6) cdot (-12))
= (48 + 8, , -24 + 16, , -8 - 72)
= (56, , -8, , -80)

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo produto: (u times v) times w. Primeiro, precisamos encontrar u times v.
u times v = ( (-6) cdot (-2) - 2 cdot 4, , 2 cdot 0 - 2 cdot (-2), , 2 cdot 4 - (-6) cdot 0 )
= (12 - 8, , 0 + 4, , 8 - 0)
= (4, , 4, , 8)

Passo 5

Agora que temos u times v = (4, 4, 8), vamos calcular (u times v) times w:
(u times v) times w = (4, 4, 8) times (2, 2, -4)
= (4 cdot (-4) - 8 cdot 2, , 8 cdot 2 - 4 cdot (-4), , 4 cdot 2 - 4 cdot 2)
= (-16 - 16, , 16 + 16, , 8 - 8)
= (-32, , 32, , 0)

Resposta

u times (v times w) = (56, , -8, , -80)
(u times v) times w = (-32, , 32, , 0)

Exercícios relacionados