Encontre todas as soluções de A x=0 e B x=0. Em ambos os casos, quais são as variáveis livres?

Passo 1

Beleza, vamos resolver as equações e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente busca encontrar todas as soluções para sistemas lineares homogêneos. Para isso, vamos precisar das matrizes e que definem os sistemas, além de entender como identificar as variáveis livres nas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver . Para isso, precisamos montar a matriz aumentada do sistema e usar o método de redução de linha (como a eliminação de Gauss) para simplificar a matriz. O objetivo é trazer a matriz para a forma escalonada ou escalonada reduzida.

Passo 3

Após reduzir a matriz , identificamos as variáveis que correspondem aos pivôs (os primeiros 1 de cada linha na forma reduzida). Essas variáveis são chamadas de variáveis básicas porque elas são determinadas pelas equações. As demais variáveis que não têm pivôs são as variáveis livres, pois podem assumir qualquer valor.

Passo 4

Repetimos o mesmo processo para a equação . Montamos a matriz aumentada , aplicamos a redução de linha e identificamos as variáveis básicas e livres na solução.

Passo 5

Com as variáveis livres identificadas para ambos os sistemas, podemos expressar todas as soluções em termos dessas variáveis livres. Geralmente, isso significa parametrizar as soluções usando as variáveis livres como parâmetros.

Resposta

As soluções de e são encontradas reduzindo as matrizes correspondentes e identificando as variáveis livres em cada caso. As variáveis livres são aquelas que podem assumir qualquer valor real nas soluções, permitindo que a gente descreva todas as soluções possíveis dos sistemas.

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