Dados os vetores v1=(2,4), v2=(-5,1) e v=(12,6), determinar o valor dos números reais a1 e a2 tais que v=a1 v1+a2 v2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos três vetores: v = a1 v1 + a2 v2 , e . A missão aqui é encontrar os números reais e que fazem com que seja uma combinação linear dos vetores e . Ou seja, queremos expressar como:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa combinação linear. Queremos que, ao multiplicar cada componente de (12, 6) = a1(2, 4) + a2(-5, 1) e pelos escalares e respectivamente, e somar os resultados, a gente chegue exatamente em .
Então, vamos escrever isso matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares (12, 6) = (2a1, 4a1) + (-5a2, a2) e (12, 6) = (2a1 - 5a2, 4a1 + a2) nos vetores:
Somando as componentes correspondentes:

Passo 4

Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
2a1 - 5a2 = 12 4a1 + a2 = 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para 4a1 + a2 = 6 Rightarrow a2 = 6 - 4a1 :

Passo 6

Agora, substituímos 2a1 - 5(6 - 4a1) = 12 na primeira equação:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 7

Distribuindo o 2a1 - 30 + 20a1 = 12 :
22a1 - 30 = 12
Juntando termos semelhantes:
22a1 = 42
Adicionando 30 aos dois lados:
a1 = 4222 = 2111
Dividindo por 22:

Passo 8

Agora que temos a2 = 6 - 4 ( 2111 ) = 6 - 8411 = 6611 - 8411 = -1811 , vamos substituir na expressão que encontramos para :

Resposta

Os valores dos números reais são:
a1 = 2111 e a2 = -1811

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