Seja V=M2 times 2(R) e considere a base canônica deste espaço descrita por
C=(ll 1 & 0 0 & 0 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )
Seja S: V R^2 é descrita por
T(ll a & b c & d )=(a+d, b+c)
(ii) Se S: R^2 V é tal que [S]C^C2=(rr2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1), determine S explicitamente e, se possível, (a, b) tal que S(a, b)=(ll1 & 0 0 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui! Temos um espaço 1 & 0 0 & 1 que é o conjunto de todas as matrizes com números reais. A base canônica desse espaço é formada por quatro matrizes que têm um 1 em uma posição e 0 nas outras. A função que estamos estudando vai de para , ou seja, recebe um vetor de 2 elementos e retorna uma matriz .
No exercício, a gente recebe a representação matricial de na base e precisa:
  1. Determinar explicitamente como é a função .
  2. Encontrar, se possível, um par de números tal que seja a matriz identidade .
Vamos precisar entender como a representação matricial funciona e como usar isso para construir a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz 2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1 . Essa notação indica a representação de em termos das bases para e para (que é a base padrão de , ou seja, os vetores e ).
A matriz dada é:
Essa matriz tem 4 linhas e 2 colunas porque o espaço de matrizes tem dimensão 4, e tem dimensão 2.
Cada coluna dessa matriz representa a imagem dos vetores da base de através de , expressa na base .

Passo 3

Vamos identificar as imagens dos vetores da base de 2 1 -1 0 através de 1 -1 0 1 .
  • A primeira coluna C = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 representa 2 1 & 0 0 & 0 + 1 0 & 1 0 & 0 + (-1) 0 & 0 1 & 0 + 0 0 & 0 0 & 1 = 2 & 1 -1 & 0 .
  • A segunda coluna 1 1 & 0 0 & 0 + (-1) 0 & 1 0 & 0 + 0 0 & 0 1 & 0 + 1 0 & 0 0 & 1 = 1 & -1 0 & 1 representa .
Agora, vamos traduzir essas colunas de volta para matrizes usando a base . Cada elemento da coluna corresponde a um coeficiente para cada matriz da base :
Então, para :
E para :

Passo 4

Agora que temos S(a, b) = a cdot S(1, 0) + b cdot S(0, 1) e a cdot 2 & 1 -1 & 0 + b cdot 1 & -1 0 & 1 = 2a + b & a - b -a & b , podemos definir a função S(a, b) = 2a + b & a - b -a & b para qualquer vetor em . Como é uma aplicação linear, temos:
Substituindo as matrizes que encontramos:
Então, a função fica assim:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de I = 1 & 0 0 & 1 e 2a + b & a - b -a & b = 1 & 0 0 & 1 tais que seja a matriz identidade , que é:
Então, igualamos a :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação 3: implica que .
Substituindo na equação 4: .
Vamos verificar na equação 2: , que não é igual a 0. Isso indica que não há solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

Não existe nenhum par 1 & 0 0 & 1 tal que seja a matriz identidade .

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