Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma base para o núcleo da transformação linear definida por . Basicamente, queremos descobrir quais polinômios de grau no máximo 3 satisfazem . Para isso, vamos precisar entender o que é núcleo de uma transformação linear e como encontrar uma base para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o zero. No nosso caso, isso significa encontrar todos os polinômios em tal que .

Passo 3

Agora, vamos escrever um polinômio geral de grau no máximo 3:
Queremos que , então vamos substituir na equação:
Isso nos dá uma equação que relaciona os coeficientes do polinômio.

Passo 4

Essa equação:
é uma condição que os coeficientes devem satisfazer para que esteja no núcleo de . Vamos resolver essa equação para expressar um dos coeficientes em termos dos outros. Por exemplo, podemos isolar :

Passo 5

Agora, substituímos na expressão geral de :
Vamos reorganizar os termos:
Isso mostra que qualquer polinômio no núcleo pode ser escrito como combinação linear de , e .

Passo 6

Portanto, os polinômios , e formam um conjunto que gera o núcleo de . Para verificar se eles realmente formam uma base, precisamos checar se são linearmente independentes.

Passo 7

Como cada um desses polinômios tem um grau diferente ( e respectivamente), eles são automaticamente linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Resposta

Então, uma base para o núcleo da transformação linear é:

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Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
Se , então .
Considere os vetores e no espaço vetorial . Prove que esses vetores geram todo o espaço , ou seja, demonstre que
Um motorista a em linha reta desacelera a uma taxa constante de . Qual é a distância percorrida pelo carro?
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .