Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma base para o núcleo da transformação linear
definida por
. Basicamente, queremos descobrir quais polinômios de grau no máximo 3 satisfazem
. Para isso, vamos precisar entender o que é núcleo de uma transformação linear e como encontrar uma base para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o zero. No nosso caso, isso significa encontrar todos os polinômios
em
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos escrever um polinômio geral de grau no máximo 3:
Queremos que
, então vamos substituir
na equação:
Isso nos dá uma equação que relaciona os coeficientes do polinômio.
Passo 4
Essa equação:
é uma condição que os coeficientes
devem satisfazer para que
esteja no núcleo de
. Vamos resolver essa equação para expressar um dos coeficientes em termos dos outros. Por exemplo, podemos isolar
:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão geral de
:
Vamos reorganizar os termos:
Isso mostra que qualquer polinômio no núcleo pode ser escrito como combinação linear de
,
e
.
Passo 6
Portanto, os polinômios
,
e
formam um conjunto que gera o núcleo de
. Para verificar se eles realmente formam uma base, precisamos checar se são linearmente independentes.
Passo 7
Como cada um desses polinômios tem um grau diferente (
e
respectivamente), eles são automaticamente linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Resposta
Então, uma base para o núcleo da transformação linear
é:
Exercícios relacionados
Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
Se , então
.
Se
Considere os vetores
e
no espaço vetorial
. Prove que esses vetores geram todo o espaço
, ou seja, demonstre que
Um motorista a
em linha reta desacelera a uma taxa constante de
. Qual é a distância percorrida pelo carro?
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
.