Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
T: P3[x] longrightarrow R dada por T p=p(1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma base para o núcleo da transformação linear definida por . Basicamente, queremos descobrir quais polinômios de grau no máximo 3 satisfazem . Para isso, vamos precisar entender o que é núcleo de uma transformação linear e como encontrar uma base para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o zero. No nosso caso, isso significa encontrar todos os polinômios em tal que .

Passo 3

Agora, vamos escrever um polinômio geral de grau no máximo 3:
p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3
Queremos que p(1) = a0 + a1 (1) + a2 (1)^2 + a3 (1)^3 = a0 + a1 + a2 + a3 = 0 , então vamos substituir na equação:
Isso nos dá uma equação que relaciona os coeficientes do polinômio.

Passo 4

Essa equação:
a0 + a1 + a2 + a3 = 0
é uma condição que os coeficientes a0 = -a1 - a2 - a3 devem satisfazer para que esteja no núcleo de . Vamos resolver essa equação para expressar um dos coeficientes em termos dos outros. Por exemplo, podemos isolar :

Passo 5

Agora, substituímos p(x) = (-a1 - a2 - a3) + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 na expressão geral de p(x) = a1 (x - 1) + a2 (x^2 - 1) + a3 (x^3 - 1) :
Vamos reorganizar os termos:
Isso mostra que qualquer polinômio no núcleo pode ser escrito como combinação linear de , e .

Passo 6

Portanto, os polinômios , e formam um conjunto que gera o núcleo de . Para verificar se eles realmente formam uma base, precisamos checar se são linearmente independentes.

Passo 7

Como cada um desses polinômios tem um grau diferente ( e respectivamente), eles são automaticamente linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Resposta

Então, uma base para o núcleo da transformação linear , x - 1,; x^2 - 1,; x^3 - 1 , é:

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