Considere os vetores u=(1,-2,3) e w=(3,6,3). Calcule o produto escalar u.v e determine o ângulo alpha entre u e w. O que se pode concluir ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (1, -2, 3) e w = (3, 6, 3). A tarefa aqui é calcular o produto escalar desses vetores, que chamamos de u cdot v, e descobrir o ângulo alpha entre eles. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar e como relacioná-lo com o ângulo entre os vetores usando algumas fórmulas de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u e w. O produto escalar, também conhecido como produto interno, de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes. A fórmula é:
u cdot w = u1w1 + u2w2 + u3w3
Aplicando os valores dos vetores:
u cdot w = (1)(3) + (-2)(6) + (3)(3) = 3 - 12 + 9 = 0
Então, o produto escalar é igual a 0.

Passo 3

Agora, vamos determinar o ângulo alpha entre os vetores. Para isso, usamos a relação entre o produto escalar e o cosseno do ângulo entre eles:
u cdot w = |u| cdot |w| cdot cos(alpha)
Onde |u| e |w| representam as magnitudes (ou normas) dos vetores u e w, respectivamente. Primeiro, vamos calcular essas magnitudes.
A magnitude de um vetor v = (v1, v2, v3) é calculada por:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Calculando para u:
|u| = raiz1^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14
E para w:
|w| = raiz3^2 + 6^2 + 3^2 = raiz9 + 36 + 9 = raiz54 = 3raiz6

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes dos vetores, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo alpha:
cos(alpha) = u cdot w|u| cdot |w|
Substituindo os valores encontrados:
cos(alpha) = 0raiz14 cdot 3raiz6 = 03raiz84 = 0
Agora, para encontrar o ângulo alpha, tiramos o arco cosseno de 0:
alpha = arccos(0) = 90^circ

Resposta

O produto escalar u cdot w é igual a 0, e o ângulo alpha entre os vetores u e w é de 90 graus. Isso significa que os vetores são perpendiculares entre si.

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