Considere os vetores e . Calcule o produto escalar u.v e determine o ângulo entre . O que se pode concluir ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e . A tarefa aqui é calcular o produto escalar desses vetores, que chamamos de , e descobrir o ângulo entre eles. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar e como relacioná-lo com o ângulo entre os vetores usando algumas fórmulas de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores e . O produto escalar, também conhecido como produto interno, de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes. A fórmula é:
Aplicando os valores dos vetores:
Então, o produto escalar é igual a 0.

Passo 3

Agora, vamos determinar o ângulo entre os vetores. Para isso, usamos a relação entre o produto escalar e o cosseno do ângulo entre eles:
Onde e representam as magnitudes (ou normas) dos vetores e , respectivamente. Primeiro, vamos calcular essas magnitudes.
A magnitude de um vetor é calculada por:
Calculando para :
E para :

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes dos vetores, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo :
Substituindo os valores encontrados:
Agora, para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno de 0:

Resposta

O produto escalar é igual a 0, e o ângulo entre os vetores e é de 90 graus. Isso significa que os vetores são perpendiculares entre si.

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(a) é a projeção ortogonal no eixo e é a projeção ortogonal no eixo .