Sejam u=(2,-2,3), v=(1,-3,4) e w=(3,6,-4). Calcule o módulo das seguintes expressões dadas,
d) |3 u-5 v+w|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente tem três vetores no espaço: u = (2, -2, 3), v = (1, -3, 4) e w = (3, 6, -4). A pergunta é para calcular o módulo (ou comprimento) da expressão 3u - 5v + w. Para isso, vamos precisar fazer operações com vetores como multiplicação por escalar, soma de vetores e, por fim, calcular a norma de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar o vetor u por 3. Isso significa que cada componente do vetor u será multiplicada por 3.
3u = 3 times (2, -2, 3) = (3 times 2, 3 times -2, 3 times 3) = (6, -6, 9)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o vetor v por -5. Cada componente de v será multiplicada por -5.
-5v = -5 times (1, -3, 4) = (-5 times 1, -5 times -3, -5 times 4) = (-5, 15, -20)

Passo 4

Em seguida, vamos adicionar o vetor w, que já está na expressão.
w = (3, 6, -4)

Passo 5

Agora, vamos somar os três vetores resultantes: 3u, -5v e w. A soma de vetores é feita somando componente por componente.
3u - 5v + w = (6, -6, 9) + (-5, 15, -20) + (3, 6, -4)
Vamos somar as componentes de cada posição:
  • Componente x:
    6 + (-5) + 3 = 4
  • Componente y:
    -6 + 15 + 6 = 15
  • Componente z:
    9 + (-20) + (-4) = -15
Então, o vetor resultante é:
3u - 5v + w = (4, 15, -15)

Passo 6

Agora que temos o vetor resultante (4, 15, -15), vamos calcular o seu módulo (ou norma). A fórmula para calcular a norma de um vetor a = (ax, ay, az) é:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Aplicando essa fórmula:
|3u - 5v + w| = raiz4^2 + 15^2 + (-15)^2 = raiz16 + 225 + 225 = raiz466
Podemos simplificar um pouco mais:
raiz466 approx 21,6

Resposta

O módulo da expressão 3u - 5v + w é aproximadamente 21,6.

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