Determine constantes reais
e
de modo que a função indicada seja analítica.
b)
b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar os valores das constantes reais
,
,
e
para que a função
seja analítica. Para isso, vamos utilizar as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para uma função ser analítica no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em suas partes real e imaginária. Dada a função:
Podemos identificar:
Aqui,
é a parte real e
é a parte imaginária da função
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 4
As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para
ser analítica, devem ser satisfeitas as seguintes igualdades:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações obtido:
Da equação (1):
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
-
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
:
Da equação (2):
Substituindo
e
:
Comparando os coeficientes novamente:
-
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
:
Resposta
As constantes que tornam a função
analítica são: