Determine constantes reais a, b, c e d de modo que a função indicada seja analítica.
b) f(z)=x^2+a x y+b y^2+i(c x^2+d x y+y^2)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar os valores das constantes reais , , e para que a função seja analítica. Para isso, vamos utilizar as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para uma função ser analítica no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função f(z) = x^2 + a , x y + b , y^2 + i(c , x^2 + d , x y + y^2) em suas partes real e imaginária. Dada a função:
u(x, y) = x^2 + a , x y + b , y^2
Podemos identificar:
v(x, y) = c , x^2 + d , x y + y^2
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária da função .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = 2x + a y e partial upartial y = a x + 2b y em relação a partial vpartial x = 2c x + d y e partial vpartial y = d x + 2y :

Passo 4

As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para partial upartial x = partial vpartial y ser analítica, devem ser satisfeitas as seguintes igualdades:
partial upartial y = -partial vpartial x
2x + a y = d x + 2y (1)
Substituindo as derivadas que calculamos:
a x + 2b y = - (2c x + d y) (2)

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações obtido:
Da equação (1):
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
  • Coeficiente de 2 = d Rightarrow d = 2 :
    a = 2 Rightarrow a = 2
  • Coeficiente de 2x + 2b y = - (2c x + 2 y) :
    2 = -2c Rightarrow c = -1
Da equação (2):
Substituindo 2b = -2 Rightarrow b = -1 e :
Comparando os coeficientes novamente:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :

Resposta

As constantes que tornam a função a = 2, b = -1, c = -1, d = 2 analítica são:

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