Sejam
e
subespaços gerados do
. Determine:
(b)
?
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois subespaços de
:
-
é gerado pelos vetores e . -
é gerado pelos vetores e .
Queremos determinar se a soma desses subespaços, ou seja,
, é igual a todo o espaço
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dimensões de subespaços e a soma deles.
Passo 2
Vamos começar encontrando as dimensões de
e
. A dimensão de um subespaço é o número de vetores que o geram de forma linearmente independente.
-
Para
, temos dois vetores e . Esses vetores não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes. Logo, . -
Para
, os vetores e também são claramente independentes, já que cada um tem um 1 em posições diferentes e zeros nos outros lugares. Assim, .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a dimensão da interseção de
e
, ou seja,
. Isso nos ajuda a entender quantos vetores são comuns a ambos os subespaços.
Vamos supor que exista um vetor
que pertence a
e a
. Então, podemos escrever:
E também:
Igualando as duas expressões:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação,
. E das outras,
. Então, todo vetor na interseção tem a forma
, ou seja, é um múltiplo de
. Portanto,
.
Passo 4
Com as dimensões calculadas, podemos usar a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
Substituindo os valores:
Como
e
, concluímos que
.
Resposta
Sim,
.