Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois subespaços de :
é gerado pelos vetores e .
é gerado pelos vetores e .
Queremos determinar se a soma desses subespaços, ou seja, , é igual a todo o espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dimensões de subespaços e a soma deles.
Passo 2
Vamos começar encontrando as dimensões de e . A dimensão de um subespaço é o número de vetores que o geram de forma linearmente independente.
Para , temos dois vetores e . Esses vetores não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes. Logo, .
Para , os vetores e também são claramente independentes, já que cada um tem um 1 em posições diferentes e zeros nos outros lugares. Assim, .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a dimensão da interseção de e , ou seja, . Isso nos ajuda a entender quantos vetores são comuns a ambos os subespaços.
Vamos supor que exista um vetor que pertence a e a . Então, podemos escrever:
E também:
Igualando as duas expressões:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, . E das outras, . Então, todo vetor na interseção tem a forma , ou seja, é um múltiplo de . Portanto, .
Passo 4
Com as dimensões calculadas, podemos usar a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços: