Sejam U=[(1,0,0),(1,1,1)] e V=[(0,1,0),(0,0,1)] subespaços gerados do R^3. Determine:
(b) U+W=R^3 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois subespaços de :
  • é gerado pelos vetores e .
  • é gerado pelos vetores e .
Queremos determinar se a soma desses subespaços, ou seja, , é igual a todo o espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dimensões de subespaços e a soma deles.

Passo 2

Vamos começar encontrando as dimensões de e . A dimensão de um subespaço é o número de vetores que o geram de forma linearmente independente.
  • Para , temos dois vetores e . Esses vetores não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes. Logo, .
  • Para , os vetores e também são claramente independentes, já que cada um tem um 1 em posições diferentes e zeros nos outros lugares. Assim, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a dimensão da interseção de x = a(1,0,0) + b(1,1,1) = (a + b, b, b) e x = c(0,1,0) + d(0,0,1) = (0, c, d) , ou seja, (a + b, b, b) = (0, c, d) . Isso nos ajuda a entender quantos vetores são comuns a ambos os subespaços.
Vamos supor que exista um vetor a + b = 0 b = c b = d que pertence a e a . Então, podemos escrever:
E também:
Igualando as duas expressões:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, . E das outras, . Então, todo vetor na interseção tem a forma , ou seja, é um múltiplo de . Portanto, .

Passo 4

Com as dimensões calculadas, podemos usar a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
dim(U + V) = dim(U) + dim(V) - dim(U cap V)
Substituindo os valores:
dim(U + V) = 2 + 2 - 1 = 3
Como e , concluímos que .

Resposta

Sim, .

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