Considere os vetores V=(c2 3 -1) e W=(c1 1 -1).
Encontre um vetor U da forma (lx x 2) de modo que o paralelepípedo determinado por V, W e U tenha volume igual a 5 .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar um vetor U da forma (lx x 2) que, junto com os vetores V e W, forme um paralelepípedo com volume igual a 5. Vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o cálculo do volume usando o produto misto (produto escalar e produto vetorial).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores V, W e U é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores, que é calculado assim:
Volume = |V cdot (W times U)|
Então, nosso objetivo é encontrar x tal que esse volume seja igual a 5.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial W times U. Sabemos que:
W = (c1 1 -1), U = (cx x 2)
O produto vetorial é calculado pela matriz:
W times U = (c 1 cdot 2 - (-1) cdot x (-1) cdot x - 1 cdot 2 1 cdot x - 1 cdot x ) = (c 2 + x - x - 2 0 )

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar de V com o resultado do produto vetorial, ou seja, V cdot (W times U). Temos:
V = (c2 3 -1), W times U = (c2 + x - x - 2 0)
O produto escalar é:
V cdot (W times U) = 2(2 + x) + 3(-x - 2) + (-1)(0) = 4 + 2x - 3x - 6 + 0 = -x - 2

Passo 5

Sabemos que o volume é o valor absoluto desse produto escalar e que ele deve ser igual a 5. Então:
| -x - 2 | = 5
Isso nos dá duas possibilidades:
-x - 2 = 5 ou -x - 2 = -5

Passo 6

Vamos resolver as duas equações:
  1. -x = 7 implies x = -7
-x = -3 implies x = 3

Resposta

Os valores de x que satisfazem a condição são x = -7 e x = 3. Portanto, os vetores U são:
U = (l-7 -7 2) e U = (l3 3 2)

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