Considere os vetores v1=(1,0,2) e v2=(1,2,4). Escreva o vetor v=(4,6,7) como combinação linear de v1 e v2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, v = a cdot v1 + b cdot v2 e , e queremos escrever o vetor como uma combinação linear desses dois vetores. Isso significa que queremos encontrar números e tais que:
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Vamos montar as equações com base na combinação linear:
(4, 6, 7) = a cdot (1, 0, 2) + b cdot (1, 2, 4)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b = 4 0 cdot a + 2b = 6 2a + 4b = 7
Aqui, cada componente dos vetores deve ser igual.

Passo 3

Vamos resolver a segunda equação para encontrar 2b = 6 implies b = 3 :
a + 3 = 4 implies a = 1
Agora que temos , podemos substituir na primeira equação para encontrar :

Passo 4

Com os valores de 2a + 4b = 2 cdot 1 + 4 cdot 3 = 2 + 12 = 14 e , vamos verificar se a terceira equação é satisfeita:
No entanto, a terceira componente do vetor é 7, e . Isso significa que não existe uma combinação linear dos vetores e que resulte no vetor .

Resposta

Não é possível escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e .

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