Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional: , e . Nosso objetivo é descobrir qual é o subespaço gerado por esses vetores. Isso significa que queremos encontrar todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear, independência linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que um conjunto de vetores gera um subespaço. Quando dizemos que os vetores , e geram um subespaço, estamos falando do conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
onde , e são números reais.
Passo 3
Para simplificar, vamos escrever isso de forma mais clara:
Isso nos dá um vetor geral no subespaço gerado pelos três vetores iniciais.
Passo 4
Agora, vamos ver se esses vetores são linearmente independentes. Se não forem, podemos reduzir o número de vetores sem perder a capacidade de gerar o mesmo subespaço. Para isso, montamos uma matriz com os vetores como colunas e fazemos a redução de linha para ver o posto da matriz.
A matriz fica assim:
Passo 5
Vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz:
Subtraímos a primeira linha das outras duas:
Troca a segunda e a terceira linha para facilitar:
Agora, podemos dividir a segunda e a terceira linha por -1:
Passo 6
Após a redução, vemos que todas as três colunas têm pivôs (elementos líderes). Isso significa que os três vetores são linearmente independentes e, portanto, o subespaço gerado por eles é tridimensional, ou seja, todo o espaço .
Resposta
O subespaço gerado pelos vetores , e é o próprio espaço tridimensional .