Considere os vetores v1=(2,1) e v2=(-1,2) no plano R^2.
(a) Qual o ângulo formado por v1 e v2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos dois vetores no plano: v1 = (2, 1) e v2 = (-1, 2). O que a gente precisa descobrir é o ângulo que esses dois vetores formam entre si. Para isso, vamos usar algumas ferramentas da geometria analítica, especificamente a fórmula do produto escalar (também conhecido como produto interno) que relaciona vetores e ângulos entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores a = (a1, a2) e b = (b1, b2), o produto escalar é dado por:
a cdot b = a1 times b1 + a2 times b2
No nosso caso, v1 = (2, 1) e v2 = (-1, 2). Então:
v1 cdot v2 = 2 times (-1) + 1 times 2 = -2 + 2 = 0

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre os dois vetores, usamos a seguinte relação que envolve o produto escalar e os comprimentos (módulos) dos vetores:
v1 cdot v2 = |v1| times |v2| times cos(theta)
Onde:
  • |v| é o módulo do vetor v.
  • theta é o ângulo entre os vetores.
Como já calculamos o produto escalar e queremos achar theta, vamos rearranjar a fórmula:
cos(theta) = v1 cdot v2|v1| times |v2|

Passo 4

Vamos calcular os módulos dos vetores. O módulo de um vetor v = (v1, v2) é dado por:
|v| = raizv1^2 + v2^2
Então:
|v1| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5
|v2| = raiz(-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 0raiz5 times raiz5 = 05 = 0
Sabemos que o cosseno de 90 graus é 0, então:
theta = 90^circ

Resposta

O ângulo formado por v1 e v2 é de 90^circ.

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