Uma matriz A é simétrica se, e somente se, A=A^T. Seja A=(ccc3 & x^2 & x-2 4 & -2 & x+2 y 2 x & x+y & 5). Se A é simétrica, qual o valor de 2 x+y ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos perguntando. Temos uma matriz A = 3 & x^2 & x-2 4 & -2 & x + 2y 2x & x+y & 5 e sabemos que ela é simétrica, ou seja, . A matriz dada é:
Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como isso nos ajuda a encontrar relações entre os elementos da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz A^T = 3 & 4 & 2x x^2 & -2 & x + y x-2 & x + 2y & 5 é simétrica se ela for igual à sua transposta . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, para a nossa matriz , temos:
Como é simétrica, isso significa que cada elemento deve ser igual ao elemento . Vamos comparar os elementos correspondentes de e .

Passo 3

Vamos comparar os elementos fora da diagonal principal, já que os elementos na diagonal permanecem iguais.
  1. Elemento (1,2) e (2,1):
    x^2 = 4
    Isso nos dá a primeira equação.
  2. Elemento (1,3) e (3,1):
    x - 2 = 2x
    Essa é a segunda equação.
  3. Elemento (2,3) e (3,2):
    x + 2y = x + y
    E essa é a terceira equação.

Passo 4

Vamos resolver cada equação para encontrar os valores de x^2 = 4 implies x = pm 2 e x - 2 = 2x implies -2 = x .
  1. Primeira equação:
    x + 2y = x + y implies 2y = y implies y = 0
  2. Segunda equação:
    Aqui, só faz sentido porque não satisfaz .
  3. Terceira equação:

Passo 5

Agora que temos 2x + y = 2(-2) + 0 = -4 + 0 = -4 e , podemos calcular :

Resposta

O valor de é .

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