Uma matriz é simétrica se, e somente se, . Seja . Se A é simétrica, qual o valor de 2 x+y ?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos perguntando. Temos uma matriz A = 3 & x^2 & x-2 4 & -2 & x + 2y 2x & x+y & 5 e sabemos que ela é simétrica, ou seja, . A matriz dada é:
Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como isso nos ajuda a encontrar relações entre os elementos da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz A^T = 3 & 4 & 2x x^2 & -2 & x + y x-2 & x + 2y & 5 é simétrica se ela for igual à sua transposta . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, para a nossa matriz , temos:
Como é simétrica, isso significa que cada elemento deve ser igual ao elemento . Vamos comparar os elementos correspondentes de e .
Passo 3
Vamos comparar os elementos fora da diagonal principal, já que os elementos na diagonal permanecem iguais.
Elemento (1,2) e (2,1):
x^2 = 4
Isso nos dá a primeira equação.
Elemento (1,3) e (3,1):
x - 2 = 2x
Essa é a segunda equação.
Elemento (2,3) e (3,2):
x + 2y = x + y
E essa é a terceira equação.
Passo 4
Vamos resolver cada equação para encontrar os valores de x^2 = 4 implies x = pm 2 e x - 2 = 2x implies -2 = x .
Primeira equação:
x + 2y = x + y implies 2y = y implies y = 0
Segunda equação:
Aqui, só faz sentido porque não satisfaz .
Terceira equação:
Passo 5
Agora que temos 2x + y = 2(-2) + 0 = -4 + 0 = -4 e , podemos calcular :