Definição: Dado um vetor
, seus ângulos diretores são os ângulos
formados entre
e os vetores canônicos
e
(ou seja, os ângulos formados pelo vetor e os eixos coordenados).
(a) Obtenha todos os ângulos diretores do vetor
.
(a) Obtenha todos os ângulos diretores do vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar os ângulos diretores do vetor
. Isso significa que precisamos achar os ângulos que esse vetor faz com os vetores canônicos
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma de vetor. Vamos precisar saber como calcular o produto escalar entre dois vetores e a magnitude (ou norma) de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Esse valor também pode ser expresso como:
Onde
e
são as normas dos vetores e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma do vetor
. A norma de um vetor
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos calcular o ângulo entre
e
. Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, usamos a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo
:
Sabendo que
, temos:
Passo 5
Repetimos o mesmo processo para encontrar o ângulo
entre
e
:
Então:
Passo 6
E finalmente, calculamos o ângulo
entre
e
:
Então:
Resposta
Os ângulos diretores do vetor
são: