Definição: Dado um vetor v=x i+y j+z k, seus ângulos diretores são os ângulos alpha, beta, gamma formados entre v e os vetores canônicos i, j e k (ou seja, os ângulos formados pelo vetor e os eixos coordenados).
(a) Obtenha todos os ângulos diretores do vetor w=(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar os ângulos diretores do vetor w = (1, 1, 1). Isso significa que precisamos achar os ângulos que esse vetor faz com os vetores canônicos i, j e k. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma de vetor. Vamos precisar saber como calcular o produto escalar entre dois vetores e a magnitude (ou norma) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz), o produto escalar é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Esse valor também pode ser expresso como:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Onde |a| e |b| são as normas dos vetores e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do vetor w = (1, 1, 1). A norma de um vetor w = (x, y, z) é dada por:
|w| = raizx^2 + y^2 + z^2
Substituindo os valores:
|w| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 4

Vamos calcular o ângulo entre w e i = (1, 0, 0). Primeiro, calculamos o produto escalar:
w cdot i = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 = 1
Agora, usamos a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo alpha:
cos(alpha) = w cdot i|w| cdot |i|
Sabendo que |i| = 1, temos:
cos(alpha) = 1raiz3 implies alpha = arccos(1raiz3)

Passo 5

Repetimos o mesmo processo para encontrar o ângulo beta entre w e j = (0, 1, 0):
w cdot j = 1 cdot 0 + 1 cdot 1 + 1 cdot 0 = 1
Então:
cos(beta) = 1raiz3 implies beta = arccos(1raiz3)

Passo 6

E finalmente, calculamos o ângulo gamma entre w e k = (0, 0, 1):
w cdot k = 1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1
Então:
cos(gamma) = 1raiz3 implies gamma = arccos(1raiz3)

Resposta

Os ângulos diretores do vetor w = (1, 1, 1) são:
alpha = arccos(1raiz3), beta = arccos(1raiz3), gamma = arccos(1raiz3)

Exercícios relacionados