Determine, se possível, o valor de
de modo que os vetores
e
sejam paralelos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o valor de
para que os vetores
e
sejam paralelos. Isso envolve o conteúdo de vetores e paralelismo. Para resolver, vamos precisar saber quando dois vetores são paralelos, ou seja, quando um é múltiplo do outro.
Passo 2
Primeiro, lembrando que dois vetores
e
são paralelos se existir um número
tal que
. Isso significa que cada componente de
é igual ao
vezes a componente correspondente de
.
Passo 3
Aplicando isso aos nossos vetores, temos:
Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 5
Vamos resolver a equação
. Expandindo:
Rearranjando para formar uma equação quadrática igual a zero:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Passo 7
Calculando o discriminante:
Como
, que é positivo, temos duas soluções reais.
Passo 8
Aplicando na fórmula:
Então, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que tornam os vetores
e
paralelos são
e
.