Sendo
um espaço vetorial real de dimensão finita e com produto interno, considere as afirmações dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
(II) Se
é um operador ortogonal então
.
(III) Se uma
matriz real
, que não é múltipla escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então
.
Qual das opções abaixo é a correta?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.
(I) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
(II) Se
(III) Se uma
Qual das opções abaixo é a correta?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um espaço vetorial real
com produto interno e três afirmações sobre matrizes e operadores lineares. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como matrizes simétricas, operadores ortogonais e propriedades dessas matrizes quando combinadas.
Passo 2
Afirmação I: O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
Vamos lembrar que uma matriz
é simétrica se
(a matriz é igual à sua transposta). Agora, consideremos duas matrizes simétricas
e
de mesma ordem. O produto
será simétrico se
.
Calculando a transposta:
Como
e
são simétricas:
Então:
Para que
seja simétrico, precisamos que
, ou seja, que
e
comutem. No entanto, nem todas as matrizes simétricas comutam. Portanto, o produto de duas matrizes simétricas não é necessariamente simétrico.
Conclusão: A afirmação I é falsa.
Passo 3
Afirmação II: Se
é um operador ortogonal então
.
Um operador
é ortogonal se preserva o produto interno, ou seja, para todos
:
Agora, se
, então
. Aplicando o operador ortogonal:
Isso significa que
.
Conclusão: A afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: Se uma
matriz real
, que não é múltiplo escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então
.
Primeiro, sabemos que uma matriz
é ortogonal se
. Além disso,
ser simétrica implica
. Então, para uma matriz simétrica e ortogonal:
Isso quer dizer que
, então
é uma matriz de ordem 2, ou seja,
ao quadrado é a identidade. Agora, se quisermos calcular
:
Mas, como
, então:
No entanto, foi dado que
não é múltiplo escalar da identidade. Isso cria uma contradição, o que significa que a situação descrita na afirmação III não pode ocorrer a menos que
, o que está excluído.
Conclusão: A afirmação III é falsa.
Resposta
A opção correta é (B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
e
.
(i) Calcule .
(i) Calcule
A partir de uma base (qualquer) do
, USE o Processo de Ortogonalização de de GramSchmidt para obter uma base ORTOGONAL do
(em relação ao produto interno
acima definido). COLOQUE A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO DE RESPOSTAS
Determine um polinômio
tal que
.
Considere os vetores
e
do
.
a) Escreva o vetor como combinação linear de
e
.
Gabarito:
a) Escreva o vetor
Gabarito: