Sendo V um espaço vetorial real de dimensão finita e com produto interno, considere as afirmações dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
(II) Se T: V V é um operador ortogonal então u perp v Rightarrow T(u) perp T(v).
(III) Se uma n times n matriz real A, que não é múltipla escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então A^287=I.
Qual das opções abaixo é a correta?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um espaço vetorial real com produto interno e três afirmações sobre matrizes e operadores lineares. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como matrizes simétricas, operadores ortogonais e propriedades dessas matrizes quando combinadas.

Passo 2

Afirmação I: O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
Vamos lembrar que uma matriz (AB)^T = B^T A^T é simétrica se B^T = B e A^T = A (a matriz é igual à sua transposta). Agora, consideremos duas matrizes simétricas (AB)^T = BA e de mesma ordem. O produto será simétrico se .
Calculando a transposta:
Como e são simétricas:
Então:
Para que seja simétrico, precisamos que , ou seja, que e comutem. No entanto, nem todas as matrizes simétricas comutam. Portanto, o produto de duas matrizes simétricas não é necessariamente simétrico.
Conclusão: A afirmação I é falsa.

Passo 3

Afirmação II: Se lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= u, v rang<= é um operador ortogonal então lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= u, v rang<= = 0 .
Um operador é ortogonal se preserva o produto interno, ou seja, para todos :
Agora, se , então . Aplicando o operador ortogonal:
Isso significa que .
Conclusão: A afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Afirmação III: Se uma A^T = A e A^T A = I implies A^2 = I matriz real A^287 = A^2 times 143 + 1 = (A^2)^143 times A = I^143 times A = I times A = A , que não é múltiplo escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então A = A^1 = A^287 = I .
Primeiro, sabemos que uma matriz é ortogonal se . Além disso, ser simétrica implica . Então, para uma matriz simétrica e ortogonal:
Isso quer dizer que , então é uma matriz de ordem 2, ou seja, ao quadrado é a identidade. Agora, se quisermos calcular :
Mas, como , então:
No entanto, foi dado que não é múltiplo escalar da identidade. Isso cria uma contradição, o que significa que a situação descrita na afirmação III não pode ocorrer a menos que , o que está excluído.
Conclusão: A afirmação III é falsa.

Resposta

A opção correta é (B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.

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Considere os vetores u=(2,-3,2) e v=(4,-1,2).
(i) Calcule u wed>= v.
A partir de uma base (qualquer) do R^2, USE o Processo de Ortogonalização de de GramSchmidt para obter uma base ORTOGONAL do R^2 (em relação ao produto interno <,> acima definido). COLOQUE A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO DE RESPOSTAS
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