Considere os vetores e em . Determine se pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente ver se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional (). Pra isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando os componentes dos vetores e resolver pra ver se existem coeficientes que funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Dizemos que é uma combinação linear de e se existirem números e tais que:
Isso significa que cada componente de é a soma das componentes correspondentes de e multiplicadas por e .
Passo 3
Vamos escrever as equações para cada componente:
Aqui, a primeira equação vem da primeira componente, a segunda da segunda, e a terceira da terceira.
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
a = 2
Substituindo 2(2) + b = 5 4 + b = 5 b = 1 na segunda equação:
3(2) + 4(1) = 6 + 4 = 10
Por fim, vamos verificar na terceira equação:
Que bate certinho com o !
Resposta
Sim, v3 = 2 cdot v1 + 1 cdot v2 pode ser escrito como uma combinação linear de e :