Considere os vetores v1=(1,2,3), v2=(0,1,4) e v3=(2,5,10) em R^3. Determine se v3 pode ser escrito como uma combinação linear de v1 e v2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente ver se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional ( ). Pra isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando os componentes dos vetores e resolver pra ver se existem coeficientes que funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Dizemos que v3 = a cdot v1 + b cdot v2 é uma combinação linear de e se existirem números e tais que:
Isso significa que cada componente de é a soma das componentes correspondentes de e multiplicadas por e .

Passo 3

Vamos escrever as equações para cada componente:
1a + 0b = 2 2a + 1b = 5 3a + 4b = 10
Aqui, a primeira equação vem da primeira componente, a segunda da segunda, e a terceira da terceira.

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
a = 2
Substituindo 2(2) + b = 5 4 + b = 5 b = 1 na segunda equação:
3(2) + 4(1) = 6 + 4 = 10
Por fim, vamos verificar na terceira equação:
Que bate certinho com o !

Resposta

Sim, v3 = 2 cdot v1 + 1 cdot v2 pode ser escrito como uma combinação linear de e :

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