Seja B=1, x, x^2 a base canônica de P2(R). A partir de B, obtenha uma base ortonormal para P2, em relação aos seguintes produtos internos:
(b) lang<= p, qrang<==p(-1) q(-1)+p(0) q(0)+p(1) q(1).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base ortonormal para o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, usando a base canônica lang<= p, q rang<= = p(-1) q(-1) + p(0) q(0) + p(1) q(1) . Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Precisaremos calcular produtos internos segundo o produto definido:

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar o primeiro vetor da base, que é |1| = raizlang<= 1, 1 rang<= = raiz1(-1)^0 + 1(0)^0 + 1(1)^0 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 . A normalização envolve dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A norma é dada por:
e1 = 1raiz3
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 3

Agora, vamos tornar o segundo vetor, proje1(x) = lang<= x, e1 rang<= e1 , ortogonal em relação a lang<= x, e1 rang<= = 1raiz3 [x(-1) + x(0) + x(1)] = 1raiz3 [(-1) + 0 + 1] = 0 . Subtraímos a projeção de |x| = raizlang<= x, x rang<= = raiz(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2 em e2 = xraiz2 :
Primeiro, calculamos :
Então, já é ortogonal a . Agora, normalizamos :
Portanto, o segundo vetor ortonormal é:

Passo 4

Por fim, vamos ortogonalizar e normalizar o terceiro vetor, u = x^2 - lang<= x^2, e1 rang<= e1 - lang<= x^2, e2 rang<= e2 , em relação a lang<= x^2, e1 rang<= = 1raiz3 [x^2(-1) + x^2(0) + x^2(1)] = 1raiz3 [1 + 0 + 1] = 2raiz3, e lang<= x^2, e2 rang<= = 1raiz2 [x^2(-1) cdot (-1) + x^2(0) cdot 0 + x^2(1) cdot 1] = 1raiz2 [1 + 0 + 1] = 2raiz2 = raiz2 . Primeiro, subtraímos as projeções de u = x^2 - 2raiz3 cdot 1raiz3 - raiz2 cdot xraiz2 = x^2 - 23 - x em u = x^2 - x - 23 e |u| = raizlang<= u, u rang<= = raiz(-1)^2 + (-23)^2 + 1^2 = raiz1 + 49 + 1 = raiz229 = raiz223 :
e3 = x^2 - x - 23raiz223 = 3(x^2 - x - 23)raiz22 = 3x^2 - 3x - 2raiz22
Calculamos cada produto interno:
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Agora, normalizamos :
Então, o terceiro vetor ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal para 1raiz3, xraiz2, 3x^2 - 3x - 2raiz22 é:

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