Seja a base canônica de . A partir de , obtenha uma base ortonormal para , em relação aos seguintes produtos internos:
(b) .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base ortonormal para o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, usando a base canônica . Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Precisaremos calcular produtos internos segundo o produto definido:

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar o primeiro vetor da base, que é . A normalização envolve dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A norma é dada por:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 3

Agora, vamos tornar o segundo vetor, , ortogonal em relação a . Subtraímos a projeção de em :
Primeiro, calculamos :
Então, já é ortogonal a . Agora, normalizamos :
Portanto, o segundo vetor ortonormal é:

Passo 4

Por fim, vamos ortogonalizar e normalizar o terceiro vetor, , em relação a e . Primeiro, subtraímos as projeções de em e :
Calculamos cada produto interno:
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Agora, normalizamos :
Então, o terceiro vetor ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal para é:

Exercícios relacionados

Determine o elemento tal que .
(a) Quais as coordenadas do vetor em relação à base ? E em relação a ? E em relação a ?
(Produtos notáveis) Sejam as matrizes dadas
11.1 Comparar as duas matrizes .
Considere os vetores e em . Determine se pode ser escrito como uma combinação linear de e .