Seja
a base canônica de
. A partir de
, obtenha uma base ortonormal para
, em relação aos seguintes produtos internos:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base ortonormal para o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, usando a base canônica
. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Precisaremos calcular produtos internos segundo o produto definido:
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar o primeiro vetor da base, que é
. A normalização envolve dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A norma é dada por:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 3
Agora, vamos tornar o segundo vetor,
, ortogonal em relação a
. Subtraímos a projeção de
em
:
Primeiro, calculamos
:
Então,
já é ortogonal a
. Agora, normalizamos
:
Portanto, o segundo vetor ortonormal é:
Passo 4
Por fim, vamos ortogonalizar e normalizar o terceiro vetor,
, em relação a
e
. Primeiro, subtraímos as projeções de
em
e
:
Calculamos cada produto interno:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Agora, normalizamos
:
Então, o terceiro vetor ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal para
é:
Exercícios relacionados
Determine o elemento
tal que
.
(a) Quais as coordenadas do vetor
em relação à base
? E em relação a
? E em relação a
?
(Produtos notáveis) Sejam as matrizes dadas
11.1 Comparar as duas matrizes
.
Considere os vetores
e
em
. Determine se
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.