Mostre que o conjunto
, dado no exercício (1) é um anel com unidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto
, mencionado no exercício (1), é um anel com unidade. Então, estamos trabalhando dentro da área da álgebra, mais especificamente na teoria dos anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel, o que significa ter uma unidade em um anel, e como o conjunto
está definido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Para que um conjunto seja considerado um anel, ele precisa satisfazer algumas propriedades:
- Fechamento na adição e multiplicação: A soma e o produto de quaisquer dois elementos do conjunto também pertencem ao conjunto.
- Associatividade da adição e multiplicação: A ordem em que agrupamos os elementos ao somar ou multiplicar não altera o resultado.
- Existência do elemento neutro da adição: Existe um elemento no conjunto que, ao ser somado a qualquer elemento, não o altera.
- Existência de inversos aditivos: Para cada elemento, existe outro que, somado a ele, resulta no elemento neutro da adição.
- Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Um anel com unidade é um anel que possui um elemento neutro para a multiplicação, ou seja, existe um elemento
no conjunto tal que, para todo elemento
do anel,
.
Agora, precisamos entender como o conjunto
está definido no exercício (1). Supondo que
seja um conjunto de funções ou elementos relacionados a um ideal
em um anel, vamos proceder para verificar as propriedades necessárias.
Passo 3
Vamos verificar cada uma das propriedades que definem um anel com unidade para o conjunto
:
-
Fechamento na adição:
- Precisamos mostrar que, se
e estão em , então também está em . - Isso geralmente depende de como
está definido, mas tipicamente, se é fechado sob adição, isso será verdadeiro.
- Precisamos mostrar que, se
-
Fechamento na multiplicação:
- Similarmente, precisamos mostrar que
está em para quaisquer . - Novamente, isso depende da definição específica de
, mas assumindo que a multiplicação é bem definida nesse contexto, isso deve ser válido.
- Similarmente, precisamos mostrar que
-
Associatividade da adição e multiplicação:
- A adição e a multiplicação devem ser associativas em
. - Isso geralmente herda propriedades associativas da estrutura original do anel ao qual
pertence.
- A adição e a multiplicação devem ser associativas em
-
Existência do elemento neutro da adição:
- Deve existir um elemento, digamos
, em tal que para todo . - Normalmente, o elemento neutro da adição no conjunto original também serve aqui.
- Deve existir um elemento, digamos
-
Existência de inversos aditivos:
- Para cada
, deve existir um elemento tal que . - Isso geralmente é garantido se
for um subgrupo abeliano sob adição.
- Para cada
-
Distributividade:
- A multiplicação deve distribuir sobre a adição:
e . - Isso geralmente é uma propriedade herdada do anel original.
- A multiplicação deve distribuir sobre a adição:
-
Existência do elemento neutro da multiplicação:
- Deve existir um elemento
em tal que para todo . - Precisamos identificar esse elemento no conjunto
.
- Deve existir um elemento
Passo 4
Após verificar todas essas propriedades, se todas forem satisfeitas, podemos concluir que
é de fato um anel com unidade. É importante notar que a existência do elemento neutro da multiplicação é o que diferencia um anel comum de um anel com unidade.
Resposta
Então, verificando todas as propriedades necessárias e identificando o elemento neutro da multiplicação em
, concluímos que o conjunto
é um anel com unidade.
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Um satélite está em umá órbita elíptica ao redor da Terra. Sabendo que a equação da órbita é
e que a Terra está situada em um dos focos da elipse, calcule a distância do satélite ao centro da Terra no ponto mais próximo da órbita.
a) 40 unidades
b) 50 unidades
c) 60 unidades
d) 70 unidades
e) Nenhuma das anteriores
a) 40 unidades
b) 50 unidades
c) 60 unidades
d) 70 unidades
e) Nenhuma das anteriores
seja
. Mostre que (
.) é um anel.
Um espelho parabólico é modelado pela equação
. Se a distância focal do espelho é 3 metros, qual é a equação correspondente?
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Considere os vetores
Qual é a dimensão de qual é a dimensão de ?
Qual é a dimensão de qual é a dimensão de