Mostre que o conjunto , dado no exercício (1) é um anel com unidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto , mencionado no exercício (1), é um anel com unidade. Então, estamos trabalhando dentro da área da álgebra, mais especificamente na teoria dos anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel, o que significa ter uma unidade em um anel, e como o conjunto está definido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Para que um conjunto seja considerado um anel, ele precisa satisfazer algumas propriedades:
  1. Fechamento na adição e multiplicação: A soma e o produto de quaisquer dois elementos do conjunto também pertencem ao conjunto.
  2. Associatividade da adição e multiplicação: A ordem em que agrupamos os elementos ao somar ou multiplicar não altera o resultado.
  3. Existência do elemento neutro da adição: Existe um elemento no conjunto que, ao ser somado a qualquer elemento, não o altera.
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada elemento, existe outro que, somado a ele, resulta no elemento neutro da adição.
  5. Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Um anel com unidade é um anel que possui um elemento neutro para a multiplicação, ou seja, existe um elemento no conjunto tal que, para todo elemento do anel, .
Agora, precisamos entender como o conjunto está definido no exercício (1). Supondo que seja um conjunto de funções ou elementos relacionados a um ideal em um anel, vamos proceder para verificar as propriedades necessárias.

Passo 3

Vamos verificar cada uma das propriedades que definem um anel com unidade para o conjunto :
  1. Fechamento na adição:
    • Precisamos mostrar que, se e estão em , então também está em .
    • Isso geralmente depende de como está definido, mas tipicamente, se é fechado sob adição, isso será verdadeiro.
  2. Fechamento na multiplicação:
    • Similarmente, precisamos mostrar que está em para quaisquer .
    • Novamente, isso depende da definição específica de , mas assumindo que a multiplicação é bem definida nesse contexto, isso deve ser válido.
  3. Associatividade da adição e multiplicação:
    • A adição e a multiplicação devem ser associativas em .
    • Isso geralmente herda propriedades associativas da estrutura original do anel ao qual pertence.
  4. Existência do elemento neutro da adição:
    • Deve existir um elemento, digamos , em tal que para todo .
    • Normalmente, o elemento neutro da adição no conjunto original também serve aqui.
  5. Existência de inversos aditivos:
    • Para cada , deve existir um elemento tal que .
    • Isso geralmente é garantido se for um subgrupo abeliano sob adição.
  6. Distributividade:
    • A multiplicação deve distribuir sobre a adição: e .
    • Isso geralmente é uma propriedade herdada do anel original.
  7. Existência do elemento neutro da multiplicação:
    • Deve existir um elemento em tal que para todo .
    • Precisamos identificar esse elemento no conjunto .

Passo 4

Após verificar todas essas propriedades, se todas forem satisfeitas, podemos concluir que é de fato um anel com unidade. É importante notar que a existência do elemento neutro da multiplicação é o que diferencia um anel comum de um anel com unidade.

Resposta

Então, verificando todas as propriedades necessárias e identificando o elemento neutro da multiplicação em , concluímos que o conjunto é um anel com unidade.

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