Mostre que o conjunto
, dado no exercício (1) é um anel com unidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o conjunto
, mencionado no exercício (1), é um anel com unidade. Então, estamos trabalhando dentro da área da álgebra, mais especificamente na teoria dos anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel, o que significa ter uma unidade em um anel, e como o conjunto
está definido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Para que um conjunto seja considerado um anel, ele precisa satisfazer algumas propriedades:
- Fechamento na adição e multiplicação: A soma e o produto de quaisquer dois elementos do conjunto também pertencem ao conjunto.
- Associatividade da adição e multiplicação: A ordem em que agrupamos os elementos ao somar ou multiplicar não altera o resultado.
- Existência do elemento neutro da adição: Existe um elemento no conjunto que, ao ser somado a qualquer elemento, não o altera.
- Existência de inversos aditivos: Para cada elemento, existe outro que, somado a ele, resulta no elemento neutro da adição.
- Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Um anel com unidade é um anel que possui um elemento neutro para a multiplicação, ou seja, existe um elemento
no conjunto tal que, para todo elemento
do anel,
.
Agora, precisamos entender como o conjunto
está definido no exercício (1). Supondo que
seja um conjunto de funções ou elementos relacionados a um ideal
em um anel, vamos proceder para verificar as propriedades necessárias.
Passo 3
Vamos verificar cada uma das propriedades que definem um anel com unidade para o conjunto
:
-
Fechamento na adição:
- Precisamos mostrar que, se
e estão em , então também está em . - Isso geralmente depende de como
está definido, mas tipicamente, se é fechado sob adição, isso será verdadeiro.
- Precisamos mostrar que, se
-
Fechamento na multiplicação:
- Similarmente, precisamos mostrar que
está em para quaisquer . - Novamente, isso depende da definição específica de
, mas assumindo que a multiplicação é bem definida nesse contexto, isso deve ser válido.
- Similarmente, precisamos mostrar que
-
Associatividade da adição e multiplicação:
- A adição e a multiplicação devem ser associativas em
. - Isso geralmente herda propriedades associativas da estrutura original do anel ao qual
pertence.
- A adição e a multiplicação devem ser associativas em
-
Existência do elemento neutro da adição:
- Deve existir um elemento, digamos
, em tal que para todo . - Normalmente, o elemento neutro da adição no conjunto original também serve aqui.
- Deve existir um elemento, digamos
-
Existência de inversos aditivos:
- Para cada
, deve existir um elemento tal que . - Isso geralmente é garantido se
for um subgrupo abeliano sob adição.
- Para cada
-
Distributividade:
- A multiplicação deve distribuir sobre a adição:
e . - Isso geralmente é uma propriedade herdada do anel original.
- A multiplicação deve distribuir sobre a adição:
-
Existência do elemento neutro da multiplicação:
- Deve existir um elemento
em tal que para todo . - Precisamos identificar esse elemento no conjunto
.
- Deve existir um elemento
Passo 4
Após verificar todas essas propriedades, se todas forem satisfeitas, podemos concluir que
é de fato um anel com unidade. É importante notar que a existência do elemento neutro da multiplicação é o que diferencia um anel comum de um anel com unidade.
Resposta
Então, verificando todas as propriedades necessárias e identificando o elemento neutro da multiplicação em
, concluímos que o conjunto
é um anel com unidade.