Considere os vetores de . Encontre um vetor tal que formam uma base de .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores no espaço :
O objetivo é encontrar um quarto vetor de modo que os quatro vetores formem uma base para . Para isso, precisamos que esses quatro vetores sejam linearmente independentes e que, juntos, gerem todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que vetores sejam linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso é importante porque uma base de um espaço vetorial deve consistir de vetores linearmente independentes que geram o espaço.
Passo 3
Como já temos três vetores , precisamos encontrar um quarto vetor que não possa ser escrito como combinação linear desses três. Para garantir isso, podemos montar uma matriz onde as colunas são os vetores e , e exigir que o determinante dessa matriz seja diferente de zero (o que indica que os vetores são linearmente independentes).
Passo 4
Vamos considerar que . Montamos a seguinte matriz:
Queremos que esta matriz seja de posto 4, ou seja, que seu determinante seja diferente de zero.
Passo 5
Para simplificar, podemos escolher valores para que não satisfaçam nenhuma das equações lineares formadas pelos vetores . Uma maneira prática é escolher um vetor que não esteja no espaço gerado por .
Por exemplo, podemos escolher de forma que a combinação linear dos primeiros três vetores não gere . Um vetor simples que costuma funcionar é aquele que possui um elemento diferente, facilitando a independência.
Passo 6
Vamos escolher . Agora, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes.