Se (x, y, z) é solução do sistema linear homogêneo l4 x+9 y+6 z=0 2 x-0 y-6 z=0 1 x-3 y-9 z=0 e z neq 0, quanto vale x+yz ?
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares homogêneo com três variáveis: , e . A gente sabe que e precisa descobrir o valor de . Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de sistemas lineares, como substituição e eliminação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a segunda equação do sistema:
2x - 6z = 0
Essa é uma equação mais simples para começarmos. Nosso objetivo aqui é expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para 2x = 6z implies x = 3z :
Agora sabemos que é três vezes .

Passo 3

Com 4x + 9y + 6z = 0 já expresso em termos de 4(3z) + 9y + 6z = 0 implies 12z + 9y + 6z = 0 implies 18z + 9y = 0 , podemos substituir esse valor na primeira equação do sistema:
9y = -18z implies y = -2z
Substituindo :
Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar em termos de :
Então, é igual a vezes .

Passo 4

Já temos x + yz = 3z + (-2z)z = zz = 1 e . Agora, vamos calcular :
Simplificando, vemos que o resultado é .

Resposta

x + yz = 1

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