Encontre as coordenadas do vetor de em relação as seguintes bases:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as coordenadas do vetor no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, , em relação à base . Pra resolver isso, vamos precisar entender como expressar esse polinômio como uma combinação linear dos vetores dessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor (ou polinômio) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso significa que vamos igualar os coeficientes dos polinômios para resolver um sistema de equações.
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes nas expressões:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da igualdade.
Passo 4
Ao comparar os coeficientes, obtemos o seguinte sistema de equações:
Agora precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 5
Começamos pela primeira equação:
3c = 2 implies c = 23
Com o valor de -2b - 23 = 1 implies -2b = 1 + 23 = 53 implies b = -56 , podemos substituir na terceira equação:
Passo 6
Agora que temos a + 2 (-56) = 3 implies a - 53 = 3 implies a = 3 + 53 = 143 , substituímos esse valor na segunda equação: