Encontre as coordenadas do vetor 1+3 x+2 x^2 de P<= 2 em relação as seguintes bases: alpha=x, 2 x-2,3 x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as coordenadas do vetor no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, , em relação à base . Pra resolver isso, vamos precisar entender como expressar esse polinômio como uma combinação linear dos vetores dessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor (ou polinômio) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares 1 + 3x + 2x^2 = a cdot x + b cdot (2x - 2) + c cdot (3x^2 - 1) , e tais que:
Isso significa que vamos igualar os coeficientes dos polinômios para resolver um sistema de equações.

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes nas expressões:
1 + 3x + 2x^2 = a cdot x + b cdot 2x - b cdot 2 + c cdot 3x^2 - c cdot 1
Agrupando os termos semelhantes:
1 + 3x + 2x^2 = (3c) x^2 + (a + 2b) x + (-2b - c)
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da igualdade.

Passo 4

Ao comparar os coeficientes, obtemos o seguinte sistema de equações:
3c = 2 a + 2b = 3 -2b - c = 1
Agora precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Começamos pela primeira equação:
3c = 2 implies c = 23
Com o valor de -2b - 23 = 1 implies -2b = 1 + 23 = 53 implies b = -56 , podemos substituir na terceira equação:

Passo 6

Agora que temos a + 2 (-56) = 3 implies a - 53 = 3 implies a = 3 + 53 = 143 , substituímos esse valor na segunda equação:

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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