Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
2. Mostre que v1, v2, v3 é LD e escreva um deles como combinação linear dos outros dois.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os vetores , e em são linearmente dependentes (LD). Depois, precisamos escrever um deles como combinação dos outros dois. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente. Três vetores são LD se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Ou seja, existe algum número e tais que .

Passo 3

Vamos escrever essa relação usando as coordenadas dos vetores:
(-2, -1, 0) = a cdot (4, 2, -3) + b cdot (2, 1, -2)
Isso resulta em um sistema de três equações:
-2 = 4a + 2b -1 = 2a + b 0 = -3a - 2b

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de -1 = 2a + b Rightarrow b = -1 - 2a e . Podemos começar pela segunda equação:
Agora, substituímos na primeira e terceira equações.

Passo 5

Substituindo na primeira equação:
-2 = 4a + 2(-1 - 2a) -2 = 4a - 2 - 4a -2 = -2
Essa equação é sempre verdadeira, não nos diz nada novo. Vamos para a terceira equação substituindo :

Passo 6

Substituindo na terceira equação:
0 = -3a - 2(-1 - 2a) 0 = -3a + 2 + 4a 0 = a + 2 a = -2
Agora que encontramos b = -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3 , substituímos de volta para encontrar :

Passo 7

Com v3 = -2 cdot v1 + 3 cdot v2 e , podemos escrever:
Isso mostra que é uma combinação linear de e , confirmando que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes, e podemos escrever como .

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Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    (b) (4,2,-6)
Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares:
(d) A X=3 X.
Seja B=p0, p1, ldots, pk um conjunto de polinômios tais que o grau de pi é igual a i, para cada i=0, ldots, k. Mostre que B é uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a k.
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
2. [v, w]=[v, w+lambda v].