Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares:
(d)
.
(d)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear representado por
. Nosso objetivo é encontrar todas as soluções possíveis para o vetor
que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para facilitar a análise. Podemos reescrever
da seguinte forma:
Aqui, subtraímos
de ambos os lados da equação.
Passo 3
Agora, podemos fatorar o vetor
na expressão resultante:
Neste passo,
representa a matriz identidade de mesma dimensão que
. A matriz
é conhecida como a matriz resultante da subtração de
vezes a matriz identidade de
.
Passo 4
A equação
nos mostra que estamos procurando todos os vetores
que, ao serem multiplicados pela matriz
, resultam no vetor nulo. Isso significa que
pertence ao núcleo (ou espaço nulo) da matriz
.
Passo 5
Para encontrar o conjunto solução, precisamos determinar o núcleo da matriz
. Isso envolve resolver o sistema homogêneo
, ou seja, encontrar todos os vetores
que anulam a transformação linear definida por
.
Passo 6
O núcleo de
é o conjunto de autovetores de
correspondentes ao autovalor
. Portanto, o conjunto solução é formado por todos os vetores não nulos
que satisfazem
.
Resposta
O conjunto solução do sistema
é o núcleo da matriz
, ou seja, todos os vetores
que satisfazem
. Esses vetores
são os autovetores de
associados ao autovalor
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
subconjuntos de um espaço vetorial.
2. Mostre que se e
é LI então
é LI.
2. Mostre que se
- Encontre um conjunto de geradores de
.
Dica: a tarefa principal será decidir qual é a forma geral de uma função polinomial par.
Considere os vetores
em
.
- Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
?
(b)
Considere os vetores
em
.
2. Mostre que é LD e escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
2. Mostre que