Seja um conjunto de polinômios tais que o grau de é igual a , para cada . Mostre que é uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto é uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a . Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com conceitos de bases e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas coisas principais: se os polinômios em são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço dos polinômios de grau até .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma base. Uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer dois requisitos:
Linearmente Independente: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Gerar o Espaço: Qualquer polinômio de grau até pode ser escrito como combinação linear dos polinômios da base.
Passo 3
Vamos começar verificando a linearidade independente. Suponha que exista uma combinação linear dos polinômios em que resulte no polinômio zero:
Como cada tem grau e são distintos, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero. Isso significa que os polinômios em são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos verificar se gera o espaço dos polinômios de grau até . Qualquer polinômio de grau pode ser escrito como:
Onde os coeficientes são os coeficientes de quando expresso em termos da base . Isso mostra que qualquer polinômio no espaço pode ser alcançado através de uma combinação linear dos polinômios em .
Resposta
Portanto, o conjunto é de fato uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a .