Quais dos seguintes vetores são combinação linear de ?
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os vetores , e no espaço . A pergunta é: o vetor pode ser representado como uma combinação linear desses três vetores? Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor é uma combinação linear dos vetores se existirem escalares tais que:
No nosso caso, queremos encontrar valores de que satisfaçam:
Passo 3
Vamos escrever isso como um sistema de equações. Cada componente do vetor resultante deve ser igual ao correspondente do vetor dado:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
-3a - 2b = -6
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por -1:
3a + 2b = 6
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação para 2a + b - c = 2 Rightarrow c = 2a + b - 2 :
Agora, temos em termos de e .
Passo 6
Substituímos 4a + 2b - 2(2a + b - 2) = 4 na primeira equação:
4a + 2b - 4a - 2b + 4 = 4
Expandindo:
0a + 0b + 4 = 4
Simplificando:
4 = 4
Isso nos dá:
Passo 7
Essa igualdade 3a + 2(0) = 6 Rightarrow 3a = 6 Rightarrow a = 2 é sempre verdadeira, o que significa que temos infinitas soluções para o sistema. Vamos escolher um valor para uma das variáveis para encontrar c = 2(2) + 0 - 2 = 4 - 2 = 2 , e .