Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    (b) (4,2,-6)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os vetores , e no espaço . A pergunta é: o vetor pode ser representado como uma combinação linear desses três vetores? Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = u é uma combinação linear dos vetores a cdot (4, 2, -3) + b cdot (2, 1, -2) + c cdot (-2, -1, 0) = (4, 2, -6) se existirem escalares tais que:
No nosso caso, queremos encontrar valores de que satisfaçam:

Passo 3

Vamos escrever isso como um sistema de equações. Cada componente do vetor resultante deve ser igual ao correspondente do vetor dado:
4a + 2b - 2c = 4 2a + b - c = 2 -3a - 2b + 0c = -6

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
-3a - 2b = -6
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por -1:
3a + 2b = 6

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação para 2a + b - c = 2 Rightarrow c = 2a + b - 2 :
Agora, temos em termos de e .

Passo 6

Substituímos 4a + 2b - 2(2a + b - 2) = 4 na primeira equação:
4a + 2b - 4a - 2b + 4 = 4
Expandindo:
0a + 0b + 4 = 4
Simplificando:
4 = 4
Isso nos dá:

Passo 7

Essa igualdade 3a + 2(0) = 6 Rightarrow 3a = 6 Rightarrow a = 2 é sempre verdadeira, o que significa que temos infinitas soluções para o sistema. Vamos escolher um valor para uma das variáveis para encontrar c = 2(2) + 0 - 2 = 4 - 2 = 2 , e .
Vamos escolher .
Substituindo na equação:
Então, usando a expressão para :

Resposta

Sim, o vetor é uma combinação linear de com , e .

Exercícios relacionados

Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares:
(d) A X=3 X.
Sejam X e Y subconjuntos de um espaço vetorial.
2. Mostre que se X subseteq Y e Y é LI então X é LI.
Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
2. Mostre que v1, v2, v3 é LD e escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
Seja B=p0, p1, ldots, pk um conjunto de polinômios tais que o grau de pi é igual a i, para cada i=0, ldots, k. Mostre que B é uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a k.