Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    (d) (-1,2,3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
E queremos saber se o vetor (-1,2,3) pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Isso significa que precisamos encontrar escalares a, b e c tais que:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = (-1,2,3)
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Vamos escrever a equação componente a componente. Multiplicando cada vetor pelos escalares e somando, temos:
a cdot 4 + b cdot 2 + c cdot (-2) = -1 (componente x)
a cdot 2 + b cdot 1 + c cdot (-1) = 2 (componente y)
a cdot (-3) + b cdot (-2) + c cdot 0 = 3 (componente z)
Então, o sistema de equações fica:
4a + 2b - 2c = -1 2a + b - c = 2 -3a - 2b = 3

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Primeiro, observamos a terceira equação:
-3a - 2b = 3
Podemos resolver para b em termos de a:
-2b = 3 + 3a b = -32 - 3a2

Passo 4

Agora, vamos substituir o valor de b na segunda equação:
2a + b - c = 2 2a + (-32 - 3a2) - c = 2 2a - 32 - 3a2 - c = 2
Vamos simplificar:
(2a - 3a2) - 32 - c = 2 4a - 3a2 - 32 - c = 2 a2 - 32 - c = 2
Multiplicando tudo por 2 para eliminar as frações:
a - 3 - 2c = 4 a - 2c = 7 (Equação 4) çã

Passo 5

Agora, vamos substituir b na primeira equação:
4a + 2b - 2c = -1 4a + 2(-32 - 3a2) - 2c = -1 4a - 3 - 3a - 2c = -1
Simplificando:
a - 3 - 2c = -1 a - 2c = 2 (Equação 5) çã

Passo 6

Agora, temos duas equações:
a - 2c = 7 (Equação 4) a - 2c = 2 (Equação 5) çãçã
Observamos que a - 2c não pode ser simultaneamente igual a 7 e a 2. Isso significa que o sistema não tem solução.

Resposta

O vetor (-1,2,3) não é combinação linear de v1, v2 e v3.

Exercícios relacionados

Sejam X, Y subconjuntos do espaço vetorial V. Mostre que a soma do subespaço gerado por X e o subespaço gerado por Y é o subespaço gerado por X cup Y.
Sejam v1=(1,3,2), v2=(1,3,3), v3=(1,2,2), v4=(1,-2,2) e B= v1, v2, v3, v4.
2. Quais dos vetores de B podem ser escritos como combinação linear dos outros vetores de B e quais não?
Sejam X e Y subconjuntos de um espaço vetorial.
  1. Mostre que se X subseteq Y e X é LD, então Y é LD.
Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    © (-2,-1,1)