Quais dos seguintes vetores são combinação linear de ?
(d) .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional :
E queremos saber se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Isso significa que precisamos encontrar escalares , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.
Passo 2
Vamos escrever a equação componente a componente. Multiplicando cada vetor pelos escalares e somando, temos:
Então, o sistema de equações fica:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Primeiro, observamos a terceira equação:
-3a - 2b = 3
Podemos resolver para b em termos de a:
-2b = 3 + 3a b = -32 - 3a2
Passo 4
Agora, vamos substituir o valor de b na segunda equação:
2a + b - c = 2 2a + (-32 - 3a2) - c = 2 2a - 32 - 3a2 - c = 2
Vamos simplificar:
(2a - 3a2) - 32 - c = 2 4a - 3a2 - 32 - c = 2 a2 - 32 - c = 2
Multiplicando tudo por 2 para eliminar as frações: