Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    © (-2,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o vetor (-2, -1, 1) pode ser formado combinando os vetores v1 = (4, 2, -3), v2 = (2, 1, -2) e v3 = (-2, -1, 0). Isso envolve o conceito de combinação linear na álgebra linear. Basicamente, queremos saber se existe uma combinação dos vetores dados que resulte no vetor procurado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Dizemos que um vetor u é uma combinação linear dos vetores v1, v2, v3 se existem escalares a, b e c tais que:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = u
No nosso caso, queremos achar valores de a, b e c que satisfaçam:
a cdot (4, 2, -3) + b cdot (2, 1, -2) + c cdot (-2, -1, 0) = (-2, -1, 1)

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente:
  1. Componente x:
    4a + 2b - 2c = -2
  2. Componente y:
    2a + b - c = -1
  3. Componente z:
    -3a - 2b + 0c = 1
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
4a + 2b - 2c = -2 2a + b - c = -1 -3a - 2b = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, vamos resolver a terceira equação para expressar uma das variáveis em termos das outras.
A terceira equação é:
-3a - 2b = 1
Podemos reescrever isso como:
3a + 2b = -1 (Mu
Agora, vamos isolar b:
2b = -1 - 3a b = -1 - 3a2

Passo 5

Agora que temos b em termos de a, vamos substituir essa expressão nas outras duas equações para encontrar a e c.
Substituindo b na segunda equação:
2a + ( -1 - 3a2 ) - c = -1
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
4a + (-1 - 3a) - 2c = -2 4a - 1 - 3a - 2c = -2 a - 1 - 2c = -2
Resolvendo para a:
a - 2c = -1 a = 2c -1

Passo 6

Agora, vamos substituir a = 2c -1 na expressão que encontramos para b:
b = -1 - 3(2c -1)2 b = -1 -6c +32 b = 2 -6c2 b = 1 -3c

Passo 7

Agora, vamos substituir a = 2c -1 e b = 1 -3c na primeira equação para encontrar o valor de c:
4a + 2b - 2c = -2 4(2c -1) + 2(1 -3c) -2c = -2 8c -4 + 2 -6c -2c = -2 (8c -6c -2c) + (-4 +2) = -2 0c -2 = -2 -2 = -2

Passo 8

A última equação resultou em uma igualdade verdadeira (-2 = -2) sem envolver c. Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, ou seja, existe uma relação entre a, b e c que satisfaz todas as equações.

Resposta

Sim, o vetor (-2, -1, 1) é uma combinação linear dos vetores v1, v2, v3.

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