Sejam
e
subconjuntos de um espaço vetorial.
- Mostre que se
e
é LD, então
é LD.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subconjuntos
e
de um espaço vetorial. A afirmação diz que se
está contido em
(
) e
é um conjunto linearmente dependente (LD), então
também deve ser linearmente dependente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dependência linear e propriedades de subconjuntos em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Isso quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros.
Passo 3
Como
é um subconjunto de
(
), todos os vetores de
também estão em
. Sabemos que
é linearmente dependente, então existe uma combinação linear não trivial desses vetores que dá zero. Essa mesma combinação linear também existe dentro de
, já que
contém todos os vetores de
.
Passo 4
Como a combinação linear não trivial que mostra a dependência linear de
também está presente em
, isso significa que
tem uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Portanto,
também é um conjunto linearmente dependente.
Resposta
Se
e
é linearmente dependente, então
também é linearmente dependente.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
em
.
- Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
?
(d).
Sejam
subconjuntos do espaço vetorial
. Mostre que a soma do subespaço gerado por
e o subespaço gerado por
é o subespaço gerado por
.
Considere os vetores
em
.
- Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
?
©
- Mostre que o conjunto
das funções polinomiais pares (isto é, as funções polinomiais tais que para todo ) é subespaço de .