Sejam
e
subconjuntos LI de um espaço vetorial.
2. Mostre que
é LI se, e somente se,
.
2. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de vetores,
e
, que são linearmente independentes (LI) em um espaço vetorial. O exercício pede para mostrar que a união desses conjuntos,
, também é LI se e somente se o espaço gerado por
intersectado com o espaço gerado por
é igual ao espaço gerado pela interseção dos conjuntos
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como funcionam os espaços gerados por conjuntos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se, quando você forma uma combinação linear desses vetores igual a zero, os únicos coeficientes possíveis são todos zero. Em outras palavras, nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como combinação dos outros.
Além disso, o espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Vamos denotar
como o espaço gerado por
e
como o espaço gerado por
.
Passo 3
Agora, para mostrar a equivalência, precisamos provar duas direções:
- Se
é LI, então . - Se
, então é LI.
Vamos começar com a primeira parte.
Passo 4
Parte 1: Suponha que
é LI. Queremos mostrar que
.
Se
é LI, então nenhum vetor de
pode ser escrito como combinação dos vetores de
, e vice-versa. Isso implica que a única maneira de um vetor estar tanto em
quanto em
é que ele esteja em
, ou seja, seja gerado apenas pelos vetores que estão em ambos os conjuntos.
Portanto,
contém exatamente os vetores que podem ser gerados por
, logo
.
Passo 5
Parte 2: Agora, suponha que
. Queremos mostrar que
é LI.
Se
, isso significa que a única sobreposição nos espaços gerados por
e
vem dos vetores que estão em ambos os conjuntos. Assim, ao combinar
e
, não estamos introduzindo dependências lineares adicionais, já que os vetores de
e
mantêm sua independência fora da interseção.
Portanto,
não tem combinações lineares não triviais que resultem no vetor zero, o que confirma que é linearmente independente.
Resposta
Assim, mostramos que
é linearmente independente se e somente se
.
Exercícios relacionados
- Mostre que o conjunto
das funções polinomiais pares (isto é, as funções polinomiais tais que para todo ) é subespaço de .
Considere os vetores
em
.
- Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
?
©
Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de
seguintes:
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes com
).
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes
Sejam
e
.
- Determine a dimensão do subespaço gerado pelo conjunto
.