Sejam X e Y subconjuntos LI de um espaço vetorial.
2. Mostre que X cup Y é LI se, e somente se, [X] cap[Y]=[X cap Y].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de vetores, e , que são linearmente independentes (LI) em um espaço vetorial. O exercício pede para mostrar que a união desses conjuntos, , também é LI se e somente se o espaço gerado por intersectado com o espaço gerado por é igual ao espaço gerado pela interseção dos conjuntos e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como funcionam os espaços gerados por conjuntos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se, quando você forma uma combinação linear desses vetores igual a zero, os únicos coeficientes possíveis são todos zero. Em outras palavras, nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como combinação dos outros.
Além disso, o espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Vamos denotar como o espaço gerado por e como o espaço gerado por .

Passo 3

Agora, para mostrar a equivalência, precisamos provar duas direções:
  1. Se é LI, então .
  2. Se , então é LI.
Vamos começar com a primeira parte.

Passo 4

Parte 1: Suponha que é LI. Queremos mostrar que .
Se é LI, então nenhum vetor de pode ser escrito como combinação dos vetores de , e vice-versa. Isso implica que a única maneira de um vetor estar tanto em quanto em é que ele esteja em , ou seja, seja gerado apenas pelos vetores que estão em ambos os conjuntos.
Portanto, contém exatamente os vetores que podem ser gerados por , logo .

Passo 5

Parte 2: Agora, suponha que . Queremos mostrar que é LI.
Se , isso significa que a única sobreposição nos espaços gerados por e vem dos vetores que estão em ambos os conjuntos. Assim, ao combinar e , não estamos introduzindo dependências lineares adicionais, já que os vetores de e mantêm sua independência fora da interseção.
Portanto, não tem combinações lineares não triviais que resultem no vetor zero, o que confirma que é linearmente independente.

Resposta

Assim, mostramos que é linearmente independente se e somente se .

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