- Mostre que o conjunto
das funções polinomiais pares (isto é, as funções polinomiais
tais que
para todo
) é subespaço de
.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que pede para a gente mostrar que o conjunto
, que é formado pelas funções polinomiais pares (ou seja, aquelas que satisfazem
para todo
), é um subespaço de
. Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades específicas para confirmar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: Ou seja, a função zero (que mapeia todo
para ) está em . - É fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A função zero é um polinômio que, para todo
, dá
. Vamos ver se ela é par:
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções polinomiais pares,
e
, em
. Queremos ver se
também é par.
Para qualquer
:
Então,
satisfaz a condição de ser par, o que significa que
está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma função polinomial par
em
e um número real
. Precisamos verificar se
também é par.
Para qualquer
:
Assim,
também satisfaz a condição de ser par, ou seja, está em
.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que
é realmente um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
em
.
- Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
?
©
Sejam
e
subconjuntos de um espaço vetorial.
- Mostre que se
e é LD, então é LD.
Sejam
e
subconjuntos LI de um espaço vetorial.
2. Mostre que é LI se, e somente se,
.
2. Mostre que
Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de
seguintes:
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes com
).
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes