1. Mostre que o conjunto R das funções polinomiais pares (isto é, as funções polinomiais f tais que f(x)=f(-x) para todo x in R ) é subespaço de F(R, R).

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para a gente mostrar que o conjunto R, que é formado pelas funções polinomiais pares (ou seja, aquelas que satisfazem f(x) = f(-x) para todo x in R), é um subespaço de F(R, R). Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades específicas para confirmar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto V de um espaço vetorial W é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, a função zero (que mapeia todo x para 0) está em V.
  2. É fechado sob adição: Se f e g estão em V, então f + g também está em V.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se f está em V e c é um número real, então c cdot f também está em V.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto R.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A função zero é um polinômio que, para todo x, dá f(x) = 0. Vamos ver se ela é par:
f(-x) = 0 = f(x), então sim, a função zero pertence a R.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções polinomiais pares, f e g, em R. Queremos ver se f + g também é par.
Para qualquer x:
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x).
Então, f + g satisfaz a condição de ser par, o que significa que f + g está em R.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma função polinomial par f em R e um número real c. Precisamos verificar se c cdot f também é par.
Para qualquer x:
(c cdot f)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot f(x) = (c cdot f)(x).
Assim, c cdot f também satisfaz a condição de ser par, ou seja, está em R.

Resposta

Como o conjunto R contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que R é realmente um subespaço de F(R, R).

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