Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    (a) (1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional, ou seja, em v1 = (4, 2, -3), v2 = (2, 1, -2), v3 = (-2, -1, 0) :
E queremos saber se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Isso está relacionado ao conteúdo de combinação linear e espaço vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como montar e resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor c1v1 + c2v2 + c3v3 = u é uma combinação linear de c1(4, 2, -3) + c2(2, 1, -2) + c3(-2, -1, 0) = (1, 1, 1) se existirem escalares tais que:
No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Vamos expandir essa equação para termos as coordenadas correspondentes:
(4c1 + 2c2 - 2c3,; 2c1 + c2 - c3,; -3c1 - 2c2 + 0c3) = (1, 1, 1)
Isso nos dá um sistema de três equações:
4c1 + 2c2 - 2c3 = 1 2c1 + c2 - c3 = 1 -3c1 - 2c2 = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 2c1 + c2 - c3 = 1 Rightarrow c2 = 1 - 2c1 + c3 . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação para simplificar.
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira e terceira equações.

Passo 5

Substituindo na primeira equação:
4c1 + 2(1 - 2c1 + c3) - 2c3 = 1 4c1 + 2 - 4c1 + 2c3 - 2c3 = 1 2 = 1
Ops! Isso não faz sentido. Chegamos a uma equação impossível, o que significa que não há solução para o sistema.

Resposta

O vetor não é uma combinação linear dos vetores .

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Sejam
V=(x1, x2, x3, x4): x1-x2+x3-x4=0 U=(x1, x2, x3, x4): x1-x2+x3-x4=0, x2-x3=0, x3+x4=0
subconjuntos de R^4. Mostre que U subseteq V e que U é subespaço. Determine W subespaço de V tal que V=U oplus W.
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
  1. Se v1+3 v2-v3=0 e 2 v1-v2-v3=0 então [v1, v2, v3]=[v3].
  1. Encontre um conjunto de geradores de R.
    Dica: a tarefa principal será decidir qual é a forma geral de uma função polinomial par.
Sejam X e Y subconjuntos de um espaço vetorial.
2. Mostre que se X subseteq Y e Y é LI então X é LI.